1. Какой элемент является двенадцатым в арифметической прогрессии (an), если первый элемент равен 3, второй элемент

Луна

29

Решение:

1. Чтобы найти двенадцатый элемент (an) в арифметической прогрессии, нам нужно знать первый элемент (a1) и разность (d) прогрессии. Первый элемент дан - 3 и второй элемент - 7. Чтобы найти разность, мы вычитаем второй элемент из первого:

\[d = a2 - a1 = 7 - 3 = 4\].

Теперь, когда у нас есть первый элемент и разность, мы можем использовать формулу для нахождения n-го элемента:

\[an = a1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляем значения:

\[a12 = 3 + (12 - 1) \cdot 4 = 3 + 11 \cdot 4 = 3 + 44 = 47\].

Значит, двенадцатый элемент равен 47.

Чтобы найти сумму первых двенадцати элементов (S12) арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[S12 = \frac{n}{2} \cdot (a1 + a12)\]

Подставляем значения:

\[S12 = \frac{12}{2} \cdot (3 + 47) = 6 \cdot 50 = 300\].

Сумма первых двенадцати элементов этой арифметической прогрессии равна 300.

2. Чтобы найти седьмой элемент (bn) в геометрической прогрессии, нам нужно знать первый элемент (b1) и знаменатель (q) прогрессии. Первый элемент задан как -1 и знаменатель равен 2. Чтобы найти седьмой элемент, мы используем формулу:

\[bn = b1 \cdot q^{(n-1)}\]

Подставляем значения:

\[b7 = -1 \cdot 2^{(7-1)} = -1 \cdot 2^6 = -1 \cdot 64 = -64\].

Значит, седьмой элемент равен -64.

Чтобы найти сумму первых шести элементов (S6) геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[S6 = b1 \cdot \frac{(q^n - 1)}{(q-1)}\]

Подставляем значения:

\[S6 = -1 \cdot \frac{(2^6 - 1)}{(2-1)} = -1 \cdot \frac{(64 - 1)}{1} = -1 \cdot 63 = -63\].

Сумма первых шести элементов геометрической прогрессии равна -63.

3. Мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией, поэтому мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Если |q| < 1, то сумма бесконечной геометрической прогрессии S будет равна:

\[S = \frac{a1}{1 - q}\]

Где a1 - первый элемент, q - знаменатель прогрессии.

В данном случае, первый элемент (a1) равен 27, а знаменатель (q) равен -3 (-9 / 3, разделили второй элемент на первый).

Подставляем значения:

\[S = \frac{27}{1 - (-3)} = \frac{27}{4} = 6.75\].

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 6.75.

4. Чтобы найти позицию элемента (an) в арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[n = \frac{an - a1}{d} + 1\]

Где an - искомый элемент, a1 - первый элемент, d - разность прогрессии.

Подставляем значения:

\[n = \frac{6.4 - 3.6}{4} + 1 = \frac{2.8}{4} + 1 = 0.7 + 1 = 1.7\].

Таким образом, элемент равный 6.4 находится на позиции 1.7 в арифметической прогрессии.