1. Какой интервал (объединение интервалов) не может быть областью определения нечетной функции? а) [-5

Kosmicheskaya_Zvezda

15

Для того чтобы определить, какой интервал не может быть областью определения нечетной функции, давайте вспомним свойства нечетных функций.

Необходимым условием для нечетности функции \( f(x) \) является следующее свойство: для любого \( x \) из области определения функции должно выполняться равенство \( f(-x) = -f(x) \).

Теперь рассмотрим каждый вариант ответа по очереди:

а) [-5; -3) объединение (3; 5)

Чтобы функция была определена на этом интервале, она должна быть определена и на каждом из подинтервалов [-5; -3) и (3; 5). Заметим, что если \( x \) принадлежит интервалу [-5; -3), то \( -x \) будет принадлежать интервалу (3; 5). А это означает, что \( f(-x) \) должно равняться \( -f(x) \). Однако в данном случае, так как интервал [-5; -3) объединен с интервалом (3; 5), то невозможно установить такую связь между \( f(-x) \) и \( -f(x) \), что нарушает условие нечетности функции. Значит, вариант а) не может быть областью определения нечетной функции.

б) (-бесконечность: 0) объединение (0; +бесконечность)

Аналогично предыдущему пункту, если \( x \) принадлежит интервалу (-бесконечность: 0), то \( -x \) будет принадлежать интервалу (0; +бесконечность). В данном случае также невозможно установить связь между \( f(-x) \) и \( -f(x) \), а значит, вариант б) не может быть областью определения нечетной функции.

в) [-8; 7]

Для этого интервала выполнение свойства нечетности возможно. Если \( x \) принадлежит интервалу [-8; 7], то и \( -x \) будет принадлежать этому интервалу. Следовательно, если функция определена на интервале [-8; 7], она будет удовлетворять свойству нечетности.

Таким образом, интервал, который не может быть областью определения нечетной функции, это ответ а) [-5; -3) объединение (3; 5).