1) Какой результат выражения sin²2a + cos²2a + ctg²5a? 2) Какое значение получится при вычислении sin (a/3

Сокол

70

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами. Давайте решим их пошагово.

1) Для вычисления данного выражения, мы можем воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, такими как \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \) и \( \cot^2{x}=1+\tan^2{x} \). Заметим, что у нас в задаче есть углы \( 2a \) и \( 5a \). Давайте заменим эти углы на \( x \) и \( y \), чтобы упростить выражение:

\[
\sin^2{2a} + \cos^2{2a} + \cot^2{5a} = \sin^2{x} + \cos^2{x} + \cot^2{y}
\]

Теперь посмотрим на первое тождество: \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \). Поэтому мы можем заменить его в выражении:

\[
\sin^2{x} + \cos^2{x} + \cot^2{y} = 1 + \cot^2{y}
\]

Теперь займемся вторым тождеством: \( \cot^2{y} = 1 + \tan^2{y} \). Заменим его в нашем выражении:

\[
1 + \cot^2{y} = 1 + (1 + \tan^2{y}) = 2 + \tan^2{y}
\]

Итак, результат выражения \( \sin^2{2a} + \cos^2{2a} + \cot^2{5a} \) равен \( 2 + \tan^2{y} \).

2) Чтобы вычислить данное выражение, мы должны применить соответствующие тригонометрические функции. Давайте заменим \( a/3 \) на \( x \):

\[
\sin \left( \frac{a}{3} \right) \cdot \cot \left( \frac{a}{3} \right)
\]

Обратимся к определению cotangent в терминах тригонометрических функций:

\[
\cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}
\]

Тогда наше выражение можно переписать следующим образом:

\[
\sin \left( \frac{a}{3} \right) \cdot \cot \left( \frac{a}{3} \right) = \sin \left( \frac{a}{3} \right) \cdot \frac{\cos \left( \frac{a}{3} \right)}{\sin \left( \frac{a}{3} \right)}
\]

Заметим, что у нас в числителе и знаменателе есть синусы, которые можно сократить. Итак, наше выражение упрощается до:

\[
\cos \left( \frac{a}{3} \right)
\]

Таким образом, значение выражения \( \sin \left( \frac{a}{3} \right) \cdot \cot \left( \frac{a}{3} \right) \) равно \( \cos \left( \frac{a}{3} \right) \).

3) Давайте рассмотрим выражение \( 1 - \frac{1}{\sin^2{y}} \). Первым шагом мы можем заметить, что \( \frac{1}{\sin^2{y}} \) равно \( \csc^2{y} \). Используя этот факт, мы можем переписать выражение:

\[
1 - \frac{1}{\sin^2{y}} = 1 - \csc^2{y}
\]

Теперь давайте вспомним, что \( \csc^2{y} = \cot^2{y} + 1 \). Мы можем применить это тождество к нашему выражению:

\[
1 - \csc^2{y} = 1 - (\cot^2{y} + 1) = -\cot^2{y}
\]

Итак, выражение \( 1 - \frac{1}{\sin^2{y}} \) равно \( -\cot^2{y} \).

4) Чтобы вычислить данное выражение, давайте посмотрим на его составные части. Мы видим \( \sin^2{a} \) и \( \cos^2{a} \), которые мы можем заменить с помощью основного тригонометрического тождества \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \):

\[
\frac{\sin^2{a} - 1}{\cos^2{a} - 1} + \tan{a} \cdot \cot{a}
\]

Теперь у нас имеется выражение вида \( \frac{\sin^2{x} - 1}{\cos^2{x} - 1} \). Оно похоже на разность квадратов. Давайте преобразуем его следующим образом:

\[
\frac{\sin^2{x} - 1}{\cos^2{x} - 1} = \frac{(\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1)}{(\cos{x} - 1)(\cos{x} + 1)}
\]

Теперь у нас есть произведение в числителе и знаменателе. Мы можем заметить, что \((\sin{x} + 1)\) и \((\cos{x} + 1)\) сократятся. Итак, наше выражение упрощается до:

\[
\frac{\sin{x} - 1}{\cos{x} - 1} + \tan{a} \cdot \cot{a}
\]

Теперь мы имеем сложение двух дробей и произведение тангенса и котангенса. Если мы посмотрим на определение котангенса в терминах тангенса, то получим \(\cot{x} = \frac{1}{\tan{x}}\). Заменим это в нашем выражении:

\[
\frac{\sin{x} - 1}{\cos{x} - 1} + \tan{a} \cdot \frac{1}{\tan{a}}
\]

Теперь заметим, что у нас есть \(\tan{a}\) и \(\frac{1}{\tan{a}}\), которые взаимно обратны. Поэтому они сократятся и наше выражение упрощается до:

\[
\frac{\sin{x} - 1}{\cos{x} - 1} + 1 = \frac{\sin{x} - 1 + \cos{x} - 1}{\cos{x} - 1} = \frac{\sin{x} + \cos{x} - 2}{\cos{x} - 1}
\]

Итак, результат выражения \(\frac{\sin^2{a} - 1}{\cos^2{a} - 1} + \tan{a} \cdot \cot{a}\) равен \(\frac{\sin{x} + \cos{x} - 2}{\cos{x} - 1}\).

5) Для вычисления данного выражения, мы должны воспользоваться формулами сложения и удвоения для тригонометрических функций. Начнем с формулы сложения для синуса:

\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]

Заметим, что если мы поставим \(a = b\), то получим:

\[
\sin(2a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 2 \sin a \cos a
\]

Теперь давайте используем удвоение тригонометрических функций для тангенса:

\[
\tan(2a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}
\]

Теперь мы можем заметить, что \(\cos a = \frac{1}{\sec a}\) и \(\sin a = \frac{1}{\csc a}\). Заменим это в нашем выражении:

\[
(\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2
\]

Теперь заметим, что \(\cot a = \frac{1}{\tan a}\). Заменим это в нашем выражении:

\[
(\tan a \cdot \cos a)^2 + \left(\frac{1}{\tan a} \cdot \sin a\right)^2
\]

Теперь давайте раскроем скобки и воспользуемся нашими ранее установленными формулами:

\[
(\tan a \cdot \cos a)^2 + \left(\frac{1}{\tan a} \cdot \sin a\right)^2 = \left(\frac{2 \sin a \cos a}{1 - \tan^2 a}\right)^2 + \left(\frac{1}{\tan a} \cdot \sin a\right)^2
\]

Теперь давайте приведем общий знаменатель в числителе первого слагаемого:

\[
\frac{(2 \sin a \cos a)^2}{(1 - \tan^2 a)^2} + \left(\frac{1}{\tan a} \cdot \sin a\right)^2
\]

А теперь раскроем квадрат в числителе первого слагаемого:

\[
\frac{4 \sin^2 a \cos^2 a}{(1 - \tan^2 a)^2} + \left(\frac{1}{\tan a} \cdot \sin a\right)^2
\]

Теперь заметим, что у нас есть \( \sin^2 a \) в числителе первого слагаемого и \( \sin^2 a \) во втором слагаемом. Мы можем объединить их:

\[
\frac{4 \sin^2 a \cos^2 a + \sin^2 a}{(1 - \tan^2 a)^2}
\]

Теперь заметим, что в числителе у нас есть \( \sin^2 a \) и \( \cos^2 a \), которые суммируются в \( 1 \) по основному тригонометрическому тождеству. Теперь у нас есть:

\[
\frac{4 + \sin^2 a}{(1 - \tan^2 a)^2}
\]

Теперь преобразуем \( 1 - \tan^2 a \) с помощью определения \( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \):

\[
1 - \tan^2 a = \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a}
\]

Мы можем использовать тригонометрическое тождество \( \cos^2 a - \sin^2 a = \cos(2a) \). Теперь у нас есть:

\[
\frac{4 + \sin^2 a}{(\cos(2a))^2}
\]

Теперь заметим, что \( \cos(2a) \) в знаменателе возведен в квадрат. Мы можем записать это как \( \cos^2(2a) \):

\[
\frac{4 + \sin^2 a}{\cos^2(2a)}
\]

Таким образом, значение выражения \( (\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2 \) равно \( \frac{4 + \sin^2 a}{\cos^2(2a)} \).