Is it possible to find a new representation of the inequality X^2-6x+sqrt sinx

Zagadochnyy_Zamok

19

Да, конечно! Чтобы найти новое представление неравенства \(x^2 - 6x + \sqrt{\sin{x}}\), давайте рассмотрим несколько шагов.

Шаг 1: Разложение квадратного трехчлена. Мы можем записать исходное неравенство в виде:

\[x^2 - 6x + \sqrt{\sin{x}} < 0\]

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю. Возьмем корень \(\sqrt{\sin{x}}\) и выделим его как общий множитель:

\[\sqrt{\sin{x}} \cdot (x^2 - 6x + \sqrt{\sin{x}}) < 0\]

Шаг 3: Факторизация квадратного трехчлена. Мы можем разложить \(x^2 - 6x + \sqrt{\sin{x}}\) на множители следующим образом:

\[\sqrt{\sin{x}} \cdot (x - 3 + \sqrt{\sin{x}})(x - 3 - \sqrt{\sin{x}}) < 0\]

Шаг 4: Анализ знаков. Теперь мы должны проанализировать знаки каждого множителя и их произведений для того, чтобы понять, когда неравенство истинно.

Множитель \(\sqrt{\sin{x}}\) всегда положителен, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

Множитель \(x - 3 + \sqrt{\sin{x}}\) - это линейный множитель. Он изменяет знак при \(x < 3 - \sqrt{\sin{x}}\).

Множитель \(x - 3 - \sqrt{\sin{x}}\) также является линейным множителем, и он меняет знак при \(x > 3 + \sqrt{\sin{x}}\).

Теперь, рассмотрим три возможных случая:

Случай 1: \(x < 3 - \sqrt{\sin{x}}\). В этом случае оба линейных множителя отрицательные, и произведение трех множителей будет положительным.

Случай 2: \(3 - \sqrt{\sin{x}} < x < 3 + \sqrt{\sin{x}}\). В этом случае первый линейный множитель отрицательный, а второй - положительный. Произведение трех множителей будет отрицательным.

Случай 3: \(x > 3 + \sqrt{\sin{x}}\). В этом случае оба линейных множителя положительные, и произведение трех множителей снова будет положительным.

Таким образом, чтобы удовлетворить исходное неравенство, нужно представить его в виде:
\[3 - \sqrt{\sin{x}} < x < 3 + \sqrt{\sin{x}}\]

Мы предоставили подробное пошаговое решение и обосновали ответ, чтобы помочь вам понять и решить данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!