1. Определите возможные непрерывные функции, являющиеся обратными к функции у =2х/ 1 − х 2. 2. Укажите наименьшую

Пётр

32

1. Чтобы найти обратную функцию \( f^{-1} \) к функции \( y = \frac{2x}{1 - x^2} \), мы должны решить уравнение относительно \( x \):

\[ y = \frac{2x}{1 - x^2} \]

Сначала умножим оба выражения на \( 1 - x^2 \):

\[ y(1 - x^2) = 2x \]

Раскроем скобки:

\[ y -yx^2 = 2x \]

Выразим \( x^2 \):

\[ x^2 = \frac{2x - y}{y} \]

И, наконец, возведем обе части уравнения в степень \( \frac{1}{2} \):

\[ x = \pm \sqrt{\frac{2x - y}{y}} \]

Таким образом, обратная функция будет иметь вид:

\[ f^{-1}(y) = \pm \sqrt{\frac{2x - y}{y}} \]

2. Для определения площади круга с радиусом \( r = 7.2 \, \text{м} \) и принятным значением \( \pi = 3.14 \) можно использовать формулу для площади круга \( S = \pi r^2 \). Нам нужно найти наименьшую относительную погрешность, с которой можно определить площадь круга.

Относительная погрешность для площади круга будет зависеть от погрешности в измерении радиуса. У нас есть погрешность измерения \( \Delta r = 0.1 \, \text{м} \).

Относительная погрешность определяется как отношение погрешности к значению. В нашем случае, относительная погрешность будет:

\[ \frac{\Delta S}{S} = \frac{\Delta r}{r} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{\Delta S}{S} = \frac{0.1 \, \text{м}}{7.2 \, \text{м}} \]

Вычисляем это значение:

\[ \frac{\Delta S}{S} = 0.0139 \]

Таким образом, наименьшая относительная погрешность, с которой можно определить площадь круга, равна 0.0139 или 1.39%.

3. Чтобы определить абсолютную погрешность, необходимую для измерения стороны квадрата \( x \), чтобы точность в определении площади составляла 0.001 \(\text{м}^2\), мы должны рассмотреть, как погрешность в измерении \( x \) влияет на площадь.

Площадь квадрата определяется формулой \( S = x^2 \).

Относительная погрешность площади будет равна отношению погрешности в измерении \( x \) к значению \( x \). В нашем случае, относительная погрешность будет:

\[ \frac{\Delta S}{S} = \frac{\Delta x}{x} \]

Мы хотим, чтобы относительная погрешность составляла 0.001 или 0.1%.

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти абсолютную погрешность \( \Delta x \):

\[ 0.001 = \frac{\Delta x}{x} \]

Выразим \( \Delta x \):

\[ \Delta x = 0.001 \times x \]

Для диапазона значений \( x \) от 2 м до 3 м, мы можем подставить наибольшее значение \( x = 3 \) и вычислить необходимую абсолютную погрешность:

\[ \Delta x = 0.001 \times 3 = 0.003 \, \text{м} \]

Таким образом, абсолютная погрешность необходимая для измерения стороны квадрата, чтобы точность в определении его площади составляла 0.001 \(\text{м}^2\), составляет 0.003 м или 3 мм.