1) Подтвердите перпендикулярность отрезка MN к отрезку CB1. 2) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания

Светик

22

1) Для подтверждения перпендикулярности отрезка MN к отрезку CB1, нам необходимо проверить, что их углы наклона равны и дополнительные условия этого не противоречат. Рассмотрим наши отрезки по очереди:

Отрезок MN: Пусть координаты точки M на плоскости XYZ равны (x1, y1, z1), а координаты точки N равны (x2, y2, z2). Тогда вектор этого отрезка равен \(\vec{MN} = \langle x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 \rangle\) или в компонентной форме \(\vec{MN} = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)\).

Отрезок CB1: Пусть координаты точки C на плоскости XYZ равны (x3, y3, z3), а координаты точки B1 равны (x4, y4, z4). Тогда вектор этого отрезка равен \(\vec{CB1} = \langle x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3 \rangle\) или в компонентной форме \(\vec{CB1} = (x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3)\).

Для подтверждения перпендикулярности необходимо, чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю:

\(\vec{MN} \cdot \vec{CB1} = (x2 - x1)(x4 - x3) + (y2 - y1)(y4 - y3) + (z2 - z1)(z4 - z3) = 0\)

Если это равенство выполняется, то отрезок MN перпендикулярен отрезку CB1.

2) Чтобы найти угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, нам понадобится использовать нормаль вектора плоскости основания и вектор направления прямой MN.

Вспомним, что нормаль вектор плоскости A1B1C1 может быть найден как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости:

\(\vec{n_{A1B1C1}} = \vec{A1B1} \times \vec{A1C1}\)

Пусть координаты точки A1 на плоскости XYZ равны (x5, y5, z5), координаты точки B1 равны (x6, y6, z6), а координаты точки C1 равны (x7, y7, z7).

Вектор направления прямой MN мы уже нашли в предыдущем пункте и обозначили его как \(\vec{MN} = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)\). Теперь мы можем найти модуль проекции вектора \(\vec{MN}\) на нормаль \(\vec{n_{A1B1C1}}\) следующим образом:

\(|proj_{\vec{n_{A1B1C1}}} \vec{MN}| = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n_{A1B1C1}}|}{|\vec{n_{A1B1C1}}|}\)

Зная формулу для скалярного произведения двух векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\theta)\),

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), мы можем записать:

\(|proj_{\vec{n_{A1B1C1}}} \vec{MN}| = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n_{A1B1C1}}|}{|\vec{n_{A1B1C1}}|} = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n_{A1B1C1}}|}{|\vec{A1B1} \times \vec{A1C1}|} = \frac{|\vec{MN} \cdot (\vec{A1B1} \times \vec{A1C1})|}{|\vec{A1B1} \times \vec{A1C1}|}\)

Осталось только записать угол между прямой MN и плоскостью A1B1C1:

\(\theta = \arccos\left(\frac{|\vec{MN} \cdot (\vec{A1B1} \times \vec{A1C1})|}{|\vec{A1B1} \times \vec{A1C1}|}\right)\)

Это будет значение угла между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, при условии, что АА1: АВ (данные числа или условия остались незаконченными, пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию).