1. Подтвердите равенство угла ABC и угла BCD в четырёхугольнике ABCD с пересекающимися диагоналями, где известно

Mandarin

65

Для решения задачи нам потребуется использовать свойства пересекающихся диагоналей в четырехугольнике.

1. Подтверждение равенства угла ABC и угла BCD:
Известно, что AO=OD и BO=OC. Это значит, что диагонали AD и BC равны между собой.
По свойствам пересекающихся диагоналей в четырехугольнике, мы можем сделать следующий вывод:
Угол ABC равен углу BCD.

2. Доказательство равенства отрезков BE и BK внутри угла ABC:
По условию, отрезки BA и BC равны между собой. Это означает, что точка B лежит на биссектрисе угла AC.
Допустим, что отрезки BE и BK не равны. Предположим, что BE > BK.
Тогда рассмотрим следующую ситуацию: проведем биссектрису угла ABK и обозначим точку пересечения с отрезком AC как T.

Так как угол ABK равен углу CBE, то отрезки BA и BC равны, а значит, точка B также лежит на биссектрисе угла CBE.
Из свойств биссектрисы следует, что точки T и E также лежат на биссектрисе угла ABK.
Но в данном случае отрезки BE и BT будут равными, так как они являются биссектрисами угла ABK.
С другой стороны, отрезок BK будет меньше отрезка BT, так как точка K находится ближе к точке B.

Полученное противоречие говорит о том, что предположение BE > BK неверно.
Таким образом, мы доказали, что отрезки BE и BK равны между собой.

Теперь мы подтвердили равенство угла ABC и угла BCD в четырехугольнике ABCD с пересекающимися диагоналями и доказали, что отрезки BE и BK равны внутри угла ABC.