1. Решите следующие выражения: а) Вычислите √169 - 3√0.36 б) Найдите значение √3 1/7 * √7/88 в) Упростите √2^6

Vinni

16

1. а) Вычислим данное выражение пошагово:
\(\sqrt{169} - 3\sqrt{0.36}\)

Начнем с вычисления первого квадратного корня:
\(\sqrt{169} = 13\) (так как \(13 \times 13 = 169\))

Теперь вычислим второе слагаемое:
\(3\sqrt{0.36} = 3 \times 0.6 = 1.8\) (так как \(\sqrt{0.36} = 0.6\))

Итак, итоговый ответ: \(13 - 1.8 = 11.2\).

Ответ: \(11.2\).

б) Рассмотрим следующее выражение:
\(\sqrt{3 \frac{1}{7}} \times \sqrt{\frac{7}{88}}\)

Для упрощения нужно вычислить каждый корень по отдельности:

\(\sqrt{3 \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{22}{7}}\) (переводим смешанную дробь в неправильную: \(3 \frac{1}{7} = \frac{22}{7}\))

Также можно записать \(\sqrt{\frac{22}{7}}\) как \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{7}}\) (свойство корня из частного)

Второй квадратный корень:
\(\sqrt{\frac{7}{88}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{88}}\)

Теперь умножим полученные выражения:
\(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{88}} = \frac{\sqrt{22} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{88}}\)

Из свойства корня из произведения, \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\), получим:
\(\frac{\sqrt{22} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{88}} = \frac{\sqrt{22 \times 7}}{\sqrt{7 \times 88}}\)

Упростим числитель и знаменатель:
\(\frac{\sqrt{154}}{\sqrt{616}} = \frac{\sqrt{154}}{2 \sqrt{154}}\) (извлечение корня из числа в знаменателе)

В итоге, получаем:
\(\frac{\sqrt{154}}{2 \sqrt{154}}\)

Теперь мы видим, что корни \(\sqrt{154}\) сокращаются:
\(\frac{1}{2}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)

в) Упростим данное выражение:
\(\sqrt{2^6 \times 5^4}\)

Возведение чисел в степень эквивалентно умножению числа на само себя заданное количество раз.

Таким образом, выражение сводится к:
\(\sqrt{64 \times 625}\)

Умножим числа:
\(\sqrt{40000}\)

Извлекая корень, получаем:
\(200\)

Ответ: \(200\)

г) Данный пример представляет собой операцию деления квадратных корней:
\(\sqrt{\frac{500}{\sqrt{10}} \times \sqrt{32}}\)

Вспомним, что \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

Произведем упрощение выражения:
\(\sqrt{\frac{500 \times 32}{\sqrt{10}}}\)

Упростим числитель:
\(\sqrt{\frac{16000}{\sqrt{10}}}\)

Для продолжения работы преобразуем выражение:
\(\frac{\sqrt{16000}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

Для упрощения, необходимо привести числитель к более удобному виду.
Разложим 16000 на множители:
\(16000 = 2^7 \times 5^3\)

Подставим это в выражение:
\(\frac{\sqrt{2^7 \times 5^3}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

Продолжим упрощение:
\(\frac{\sqrt{2^7} \times \sqrt{5^3}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

Мы можем извлечь квадратный корень из каждого множителя:
\(\frac{2^3 \times 5^\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

Выразим 2^3 и \(5^\frac{3}{2}\) как квадратные корни:
\(\frac{8 \times \sqrt{5^2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

Имея это, упростим выражение:
\(\frac{8 \times 5 \times \sqrt{5}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}\)

\(\sqrt{\frac{1}{10}}\) можно переписать как \(\frac{1}{\sqrt{10}}\):
\(\frac{8 \times 5 \times \sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\)

Если разделить на дробь, то это эквивалентно умножению на обратную дробь:
\(\frac{8 \times 5 \times \sqrt{5}}{1} \times \frac{\sqrt{10}}{1}\)

Получим окончательный результат:
\(8 \times 5 \times \sqrt{5} \times \sqrt{10} = 40 \sqrt{5} \sqrt{10}\)

Оставшиеся корни можно объединить:
\(40 \times \sqrt{5 \times 10} = 40 \times \sqrt{50}\)

Ответ: \(40\sqrt{50}\).

2. Мы должны раскрыть скобки в следующем выражении:
\((3\sqrt{6} - 2)^2\)

Квадрат скобочного выражения можно найти, применяя формулу \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Применяя эту формулу в нашем случае, получим:
\((3\sqrt{6})^2 - 2 \times 3\sqrt{6} \times 2 + 2^2\)

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

\((3\sqrt{6})^2 = 9 \times 6 = 54\) (возводим в квадрат каждый множитель)

\(2 \times 3\sqrt{6} \times 2 = 12\sqrt{6}\) (умножаем каждый множитель)

\(2^2 = 4\) (возводим в квадрат)

Итак, объединяем все слагаемые:
\(54 - 12\sqrt{6} + 4\)

Получаем окончательный результат:
\(58 - 12\sqrt{6}\)

Ответ: \(58 - 12\sqrt{6}\).