1. Rewrite the questions in this exercise. a) Write down the first three terms of the sequence defined by the formula

Мария

31

1. Переформулируйте вопросы в этом упражнении.
a) Запишите первые три члена последовательности, заданной формулой \(a_n = n(n + 1)\), и найдите \(a_{100}\).
b) Является ли число 132 членом данной последовательности?

Решение:
a) Для того, чтобы найти первые три члена последовательности, заданной формулой \(a_n = n(n + 1)\), подставим значения \(n = 1, 2, 3\) в формулу:
\(a_1 = 1(1 + 1) = 2\)
\(a_2 = 2(2 + 1) = 6\)
\(a_3 = 3(3 + 1) = 12\)

Таким образом, первые три члена последовательности равны 2, 6 и 12.

Чтобы найти \(a_{100}\), подставим значение \(n = 100\) в формулу:
\(a_{100} = 100(100 + 1) = 10100\)

Таким образом, \(a_{100}\) равно 10100.

b) Чтобы определить, является ли число 132 членом данной последовательности, подставим его значение в формулу \(a_n = n(n + 1)\):
\(132 = n(n + 1)\)

Теперь решим полученное квадратное уравнение:
\(n^2 + n - 132 = 0\)

Факторизуем полученное уравнение:
\((n - 11)(n + 12) = 0\)

Решая уравнение, получаем два значения: \(n = 11\) или \(n = -12\).

Таким образом, число 132 не является членом данной последовательности.

2. Переформулируйте вопросы в этом упражнении.
a) Запишите первые три члена последовательности, заданной формулой \(x_n = n(n - 1)\), и найдите \(x_{20}\).
b) Каков индекс члена данной последовательности, равного 110?

Решение:
a) Для того, чтобы найти первые три члена последовательности, заданной формулой \(x_n = n(n - 1)\), подставим значения \(n = 1, 2, 3\) в формулу:
\(x_1 = 1(1 - 1) = 0\)
\(x_2 = 2(2 - 1) = 2\)
\(x_3 = 3(3 - 1) = 6\)

Таким образом, первые три члена последовательности равны 0, 2 и 6.

Чтобы найти \(x_{20}\), подставим значение \(n = 20\) в формулу:
\(x_{20} = 20(20 - 1) = 380\)

Таким образом, \(x_{20}\) равно 380.

b) Чтобы найти индекс члена последовательности, равного 110, приравняем формулу \(x_n = n(n - 1)\) к 110:
\(110 = n(n - 1)\)

Решим полученное квадратное уравнение:
\(n^2 - n - 110 = 0\)

Факторизуем полученное уравнение:
\((n - 11)(n + 10) = 0\)

Решая уравнение, получаем два значения: \(n = 11\) или \(n = -10\).

Таким образом, индекс члена последовательности, равного 110, равен 11.

3. Одна из данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая - нет:
(последовательность \(x_n\)): 12; 8; 4; ...
(последовательность \(y_n\)): -32; -16; -8; ...
a) Расширьте каждую из этих последовательностей.