1) What is the first term of an arithmetic progression if the difference is 2 and the twentieth term is 28? 2) Find

Ласка_5793

68

Конечно, давайте решим эти задачи по порядку:

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии с разностью \(d\) и двадцатым членом \(a_{20}\) мы можем воспользоваться следующей формулой:
\[a_{20} = a_1 + 19d\]
У нас дана разность \(d = 2\) и \(a_{20} = 28\). Подставим известные данные в формулу и найдем первый член \(a_1\):
\[28 = a_1 + 19 \times 2\]
\[28 = a_1 + 38\]
\[a_1 = 28 - 38\]
\[a_1 = -10\]
Итак, первый член арифметической прогрессии равен -10.

2) Сумму первых 12 членов арифметической прогрессии \(1, 5, \ldots\) можно найти с помощью формулы:
\[S_{12} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{12})\]
У нас дано первый член \(a_1 = 1\), разность \(d = 5 - 1 = 4\), и номер последнего (12-го) члена. Подставим значения в формулу:
\[S_{12} = \frac{12}{2}(1 + a_{12})\]
\[S_{12} = 6(1 + a_{12})\]
Для нахождения \(a_{12}\) воспользуемся формулой для нахождения n-ного члена арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
\[a_{12} = 1 + (12-1) \times 4\]
\[a_{12} = 1 + 44\]
\[a_{12} = 45\]
Теперь можем найти сумму первых 12 членов:
\[S_{12} = 6(1 + 45)\]
\[S_{12} = 6 \times 46\]
\[S_{12} = 276\]
Итак, сумма первых 12 членов данной арифметической прогрессии равна 276.

3) Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии \(81, 27, \ldots\) используем формулу:
\[S_5 = a_1 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1}\]
У нас дан первый член \(a_1 = 81\) и второй член \(a_2 = 27\). Чтобы найти здесь отношение \(q\), можем воспользоваться формулой для нахождения общего отношения геометрической прогрессии:
\[q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\]
Для данной прогрессии находим \(q\):
\[q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}\]
Теперь можем найти сумму первых пяти членов:
\[S_5 = 81 \cdot \frac{(\frac{1}{3})^5 - 1}{\frac{1}{3} - 1}\]
\[S_5 = 81 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3}}\]
\[S_5 = 81 \cdot \frac{-242}{243} \cdot 3\]
\[S_5 = -243\]
Итак, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна -243.

4) Чтобы найти общее отношение \(q\) геометрической прогрессии с первым членом \(a_1 = 5\) и четвертым членом \(a_4\), можем воспользоваться формулой:
\[q = \sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\]
У нас дан \(a_1 = 5\) и \(a_4\) неизвестно. Так как это геометрическая прогрессия, то:
\[a_4 = a_1 \cdot q^3\]
Значит:
\[q = \sqrt[3]{\frac{a_1 \cdot q^3}{a_1}}\]
\[q = \sqrt[3]{q^3}\]
\[q = q\]
Таким образом, общий относительный член \(q\) геометрической прогрессии не может быть найти однозначно.