1) Які залежності між відстанню S та часом t виявляються при русі матеріальних тіл з їх швидкостями в момент часу

Bublik

19

1) При русі матеріальних тіл з їх швидкостями в момент часу \(t = 1\), залежність між відстанню \(S\) та часом \(t\) виявляється такою:

\[S = \frac{1}{2} t^2\]

Обгрунтування:

Ми знаємо, що прискорення \(a\) може бути визначено як похідна від швидкості \(v\) за відношенням до часу \(t\), тобто \(a = \frac{dv}{dt}\).

Рух матеріального тіла зі сталою швидкістю означає, що кінцева швидкість \(v\) залишається постійною, тобто \(v = \text{const}\). В нашому випадку, швидкість в момент часу \(t = 1\) дорівнює \(v = 1\).

Інтегруючи обидві частини рівняння \(a = \frac{dv}{dt}\), ми отримуємо залежність \(v = \int a \, dt\). Підставляючи значення \(a = 1\) і обчислюючи цей інтеграл, ми отримуємо \(v = t\).

Далі, ми використовуємо формулу для відстані \(S\) від швидкості \(v\) при русі з прискоренням \(a\) за час \(t\):

\[S = vt + \frac{1}{2}at^2\]

Підставляючи вже відомі нам значення \(v = 1\) і \(a = 1\), ми отримуємо:

\[S = 1 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^2\]
\[S = t + \frac{1}{2} t^2\]

При підстановці \(t = 1\) отримуємо:

\[S = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^2\]
\[S = 1 + \frac{1}{2}\]
\[S = \frac{3}{2}\]

Таким чином, при русі матеріальних тіл зі швидкостями в момент часу \(t = 1\), відстань \(S\) дорівнює \(\frac{3}{2}\).

2) Для визначення відстані \(S\) в залежності від часу \(t\), якщо матеріальні тіла рухаються зі швидкістю \(4t + 1\), ми використовуємо формулу для відстані \(S\) від швидкості \(v\) при русі без прискорення:

\[S = \int v \, dt\]

Підставляючи значення швидкості \(v = 4t + 1\) і обчислюючи цей інтеграл, ми отримуємо:

\[S = \int (4t + 1) \, dt\]
\[S = 2t^2 + t + C\]

Тут \(C\) - це постійна, яку отримуємо в результаті інтегрування.

Таким чином, залежність між відстанню \(S\) та часом \(t\) при русі матеріальних тіл зі швидкістю \(4t + 1\) визначається формулою \(S = 2t^2 + t + C\).

3) Залежність між відстанню \(S\) та часом \(t\) визначається такою:

\[S = \int (t^\frac{2}{3} + 5t) \, dt\]
\[S = \frac{3}{5}t^\frac{5}{3} + \frac{5}{2}t^2 + C\]

Тут знову \(C\) - постійна, яку отримуємо в результаті інтегрування.

Отже, залежність між відстанню \(S\) та часом \(t\) при русі матеріальних тіл зі швидкістю \(t^\frac{2}{3} + 5t\) визначається формулою \(S = \frac{3}{5}t^\frac{5}{3} + \frac{5}{2}t^2 + C\).

4) Зв"язок між відстанню \(S\) та часом \(t\) при русі матеріальних тіл зі швидкістю \(2t^2\) визначається формулою:

\[S = \int (2t^2) \, dt\]
\[S = \frac{2}{3}t^3 + C\]

І тут \(C\) - постійна, яку отримуємо в результаті інтегрування.

Таким чином, залежність між відстанню \(S\) та часом \(t\) при русі матеріальних тіл зі швидкістю \(2t^2\) визначається формулою \(S = \frac{2}{3}t^3 + C\).