1. Якій площі дорівнює круг, який вписаний у квадрат зі стороною 4 см? 2. Яка площа кругового сегмента з кутом α може

Лисенок

64

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди с пошаговым обоснованием ответа.

1. Чтобы найти площадь круга, вписанного в квадрат, нам необходимо определить радиус этого круга. Радиус круга является половиной стороны квадрата. В данной задаче у нас квадрат со стороной 4 см, поэтому его радиус будет равен половине этой стороны: \(r = \frac{{4\,\text{см}}}{2} = 2\,\text{см}\).

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем использовать формулу для площади круга: \(S = \pi \cdot r^2\), где \(S\) - площадь круга, а \(\pi\) - математическая постоянная, примерно равная 3.14.

Подставляя значение радиуса мы получаем: \(S = \pi \cdot 2^2 = \pi \cdot 4\).

Исходя из того, что нам нужен точный ответ, оставим его в виде дроби: \(S = 4\pi\). Таким образом, площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 4 см, равна \(4\pi\) квадратных сантиметра.

2. Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно определить длину дуги круга с углом \(\alpha = 135^\circ\) и радиусом 6 см. Формула для длины дуги круга выглядит следующим образом: \(L = \frac{{2\pi r \cdot \alpha}}{{360^\circ}}\).

Подставляя значения, получаем: \(L = \frac{{2\pi \cdot 6 \cdot 135}}{{360}}\).

Выполнив простые вычисления, мы получим: \(L = \frac{{27\pi}}{{2}}\).

Теперь, чтобы найти площадь сегмента круга, мы должны разделить длину дуги на радиус и умножить на половину угла: \(S = \frac{{L \cdot r \cdot \alpha}}{{2 \cdot 360^\circ}}\).

Заменяя значения, получаем: \(S = \frac{{\frac{{27\pi}}{{2}} \cdot 6 \cdot 135}}{{2 \cdot 360}}\).

После простых вычислений, мы получим окончательный ответ: \(S = \frac{{243\pi}}{{8}}\). Таким образом, площадь кругового сегмента, видимого с центра при радиусе 6 см и угле \(\alpha = 135^\circ\), равна \(\frac{{243\pi}}{{8}}\) квадратных сантиметров.

3. Чтобы решить эту задачу, мы должны определить площадь двух фигур на рисунке и затем вычесть площадь меньшей фигуры из площади большей.

Из рисунка видно, что большая фигура - это круг радиусом 6 см. Формула для площади круга выглядит следующим образом: \(S = \pi \cdot r^2\).

Подставляя значение радиуса, мы получаем: \(S_1 = \pi \cdot 6^2\).

Выполняя простые вычисления, мы получаем: \(S_1 = 36\pi\).

Теперь рассмотрим меньшую фигуру, которая представляет собой четверть круга радиусом 4 см. Формула для площади сектора круга выглядит следующим образом: \(S_2 = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot r^2\), где \(\alpha\) - угол сектора. В данном случае, у нас \(\alpha = 90^\circ\).

Подставляя значения, получаем: \(S_2 = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot 4^2\).

Выполняя простые вычисления, мы получаем: \(S_2 = 4\pi\).

Теперь вычтем площадь меньшей фигуры из площади большей: \(S = S_1 - S_2 = 36\pi - 4\pi\).

Сокращая коэффициенты, мы получим окончательный ответ: \(S = 32\pi\). Таким образом, площадь закрашенной фигуры на рисунке равна \(32\pi\) квадратных сантиметра.

Надеюсь, эти пошаговые объяснения помогли вам лучше понять и решить задачи. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!