1. Знайти точку перетину графіків наступних рівнянь: 3x-y=-1 та ix+y=5. Оберіть правильну відповідь: А) (1:4) Б) (2:7

Yagoda

36

Задача 1:
Для того чтобы найти точку пересечения графиков данных уравнений, мы должны найти значения x и y, при которых оба уравнения будут выполняться одновременно.

Начнем с решения системы уравнений:

\[
\begin{align*}
3x - y &= -1 \\
ix + y &= 5 \\
\end{align*}
\]

Для удобства имеет смысл выразить y из первого уравнения:

\[
y = 3x + 1
\]

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

\[
ix + (3x + 1) = 5
\]

Раскроем скобки:

\[
ix + 3x + 1 = 5
\]

Сгруппируем по x:

\[
(1 + i)x + 1 = 5
\]

Выразим x:

\[
(1 + i)x = 5 - 1
\]

\[
(1 + i)x = 4
\]

\[
x = \frac{4}{1 + i}
\]

Теперь найдем y, подставив значение x в первое уравнение:

\[
y = 3 \cdot \frac{4}{1 + i} + 1
\]

\[
y = \frac{12}{1 + i} + 1
\]

Итак, мы получили значения x и y:

\[
x = \frac{4}{1 + i}
\]
\[
y = \frac{12}{1 + i} + 1
\]

Теперь найдем точку пересечения графиков:

\[
\text{Точка пересечения: }\left(\frac{4}{1 + i}, \frac{12}{1 + i} + 1\right)
\]

Сравним полученную точку с вариантами ответов:
А) (1:4)
Б) (2:7)
В) (3:20)
Г) (-2;3)

Исходя из решения уравнений, правильный ответ - В) (3:20).

Задача 2:
Для решения системы уравнений графически, мы будем искать точку пересечения графиков уравнений.

\[
\begin{align*}
\text{Система уравнений 1:} \\
2x - y &= 2 \\
2y - x &= 2 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{Система уравнений 2:} \\
3x + 2y &= 8 \\
14y - 2r &= 3 \\
\end{align*}
\]

На рисунке мы строим графики уравнений и определяем их точки пересечения. После анализа графика системы 1, мы находим точку пересечения около (1, 1). Для системы 2 точка пересечения находится около (1, 2).
Выбираем найденные точки пересечения в качестве ответа.

Ответ: (1,1) и (1,2).

Задача 3:
Для решения системы уравнений с помощью подстановки, мы будем находить одну переменную относительно другой и подставлять в другие уравнения.

\[
\begin{align*}
4y - 5x &= 8 \\
15x + 32u &= 12 \\
2x + 4y &= 30 \\
\end{align*}
\]

1. Найдем y из первого уравнения:

\[
4y = 5x + 8
\]
\[
y = \frac{5x + 8}{4}
\]

2. Подставим это значение y в третье уравнение:

\[
2x + 4\left(\frac{5x + 8}{4}\right) = 30
\]

Раскроем скобки:

\[
2x + 5x + 8 = 30
\]

Сгруппируем по x:

\[
7x + 8 = 30
\]

Выразим x:

\[
7x = 30 - 8
\]

\[
7x = 22
\]

\[
x = \frac{22}{7}
\]

3. Теперь подставим это значение x в первое уравнение:

\[
4y - 5\left(\frac{22}{7}\right) = 8
\]

Умножим оба части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей:

\[
28y - 5 \cdot 22 = 56
\]

\[
28y - 110 = 56
\]

\[
28y = 56 + 110
\]

\[
28y = 166
\]

\[
y = \frac{166}{28}
\]

\[
y = \frac{83}{14}
\]

Итак, мы получили значения x и y:

\[
x = \frac{22}{7}
\]
\[
y = \frac{83}{14}
\]

Ответ: \(x = \frac{22}{7}\), \(y = \frac{83}{14}\).

Дополнительное задание:
Для решения системы уравнений с помощью метода сложения, мы будем складывать уравнения таким образом, чтобы одна из переменных была устранена.

\[
\begin{align*}
8x + 3y &= 12x - 4y \\
12x - 4y &= 16x - 4y
\end{align*}
\]

Обратите внимание, что переменная y уже устранена. Теперь мы можем сравнить два уравнения:

\[
12x - 4y = 16x - 4y
\]

Итак, у нас получается тождество, что означает, что любые значения x и y удовлетворяют этой системе уравнений.

Ответ: Бесконечное множество решений.