30! Control work, Grade 8. 1. Rewrite the expressions as fractions: a) 28p⁴/q * q⁵/56p⁴; b) 72х³у/z : (30х²у

Черная_Магия

39

Контрольная работа по математике, Класс 8

1. Перепишем выражения в виде дробей:
a) \(\frac{{28p^4}}{{q}} \cdot \frac{{q^5}}{{56p^4}}\)
b) \(\frac{{72x^3y}}{{z}} : \frac{{30x^2y}}{{1}}\)
c) \(\frac{{x^2 - 1}}{{x^2 - 9}} : \frac{{5x+10}}{{x-1}}\)
d) \(\frac{{y+c}}{{c}} \cdot (\frac{{c}}{{y}} + \frac{{c}}{{y+c}})\)

a) Для упрощения этой дроби, мы можем сократить общие множители. Обратите внимание, что \(28p^4\) и \(56p^4\) являются общими множителями в числителе и знаменателе соответственно, а также \(q\) и \(q^5\) - общие множители. После сокращения мы получаем:
\(\frac{{1}}{{2q}}\)

b) В этой дроби мы можем сократить общие множители \(x^2y\). Также заметим, что \(\frac{{72}}{{30}}\) можно упростить и получить \(\frac{{12}}{{5}}\). После сокращения мы получаем:
\(\frac{{12}}{{5z}}\)

c) Для упрощения этой дроби, нам нужно сложить дроби в числителе. Общий знаменатель в числителе равен \((x + 1)(x - 1)\). Мы можем записать \
\(\frac{{x^2 - 1}}{{x^2 - 9}}\) как \(\frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x + 3)(x - 3)}}\). Также, для удобства, мы изменили порядок множителей в знаменателе. Затем мы можем упростить дробь:
\(\frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x + 3)(x - 3)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{5x + 10}}\)
Теперь мы можем сократить \(x - 1\) в числителе и заметить, что \(5x + 10\) можно упростить до \(5(x + 2)\):
\(\frac{{x + 1}}{{(x + 3)(x - 3)}} \cdot \frac{{1}}{{5(x + 2)}}\)
В итоге мы получаем:
\(\frac{{x + 1}}{{5(x + 2)(x + 3)(x - 3)}}\)

d) В этой дроби мы можем сократить общие множители \(c\). Сначала разложим второе слагаемое на две дроби. Мы можем записать \
\(\frac{{c}}{{y}} + \frac{{c}}{{y + c}}\) как \(\frac{{c}}{{y}} + \frac{{c}}{{c}} \cdot \frac{{1}}{{y + c}}\)
Затем, сокращая, получаем:
\(\frac{{y + c}}{{y}} + \frac{{1}}{{y + c}}\)
Теперь умножаем результат на \(\frac{{y + c}}{{c}}\) и сокращаем еще раз:
\(\frac{{y + c}}{{c}} + \frac{{c}}{{y + c}}\)
В итоге, мы получаем:
\(\frac{{y + c}}{{c}} + \frac{{c}}{{y + c}}\)


2. Построим график функции \(y = -\frac{{6}}{{x}}\). Для этого мы можем построить таблицу значений и нанести полученные точки на координатную плоскость.

| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| y | 1.5 | 2 | 3 | 6 | -6 | -3 | -2 | -1.5 |

На координатной плоскости эти точки будут находиться на графике функции \(y = -\frac{{6}}{{x}}\). График будет проходить через точки (-4, 1.5), (-3, 2), (-2, 3), (-1, 6), (1, -6), (2, -3), (3, -2) и (4, -1.5).

Областью определения функции будет любое значение \(x\), отличное от нуля, поскольку мы не можем делить на ноль.

Чтобы определить, при каких значениях \(x\) функция принимает отрицательные значения, нужно заметить, что при положительном значении \(x\) значение функции будет отрицательным, а при отрицательном значении \(x\) значение функции будет положительным.


3. Докажем, что для всех значений \(x \neq \pm2\) значение выражения \(\frac{{x}}{{x+2}} - \frac{{(x-2)^2}}{{(x^2-4) + (x^2-4x+4)}}\) не зависит от \(x\).

Для начала раскроем скобки:
\(\frac{{x}}{{x+2}} - \frac{{x^2-4x+4}}{{2x^2-8x}}\)

Затем приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
\(\frac{{x(2x^2-8x) - (x+2)(x^2-4x+4)}}{{(x+2)(2x^2-8x)}}\)

Упростим полученную дробь:
\(\frac{{2x^3-8x^2 - (x^3-4x^2+4x - 2x^2+8x-8)}}{{2x^3-8x^2+4x^2-16x}}\)
\(\frac{{2x^3-8x^2 - x^3+4x^2-4x + 2x^2-8x+8)}}{{2x^3-4x^2-16x}}\)
\(\frac{{(2x^3 - x^3) + (4x^2-8x^2+2x^2) + (-4x-8x) + 8}}{{2x^3-4x^2-16x}}\)
\(\frac{{x^3 + (-2x^2) + (-12x) + 8}}{{2x^3-4x^2-16x}}\)
\(\frac{{x^3 - 2x^2 - 12x + 8}}{{2x^3-4x^2-16x}}\)

Заметим, что в числителе есть общий множитель: \(x - 2\). Мы можем разделить каждое слагаемое на этот множитель:
\(\frac{{(x - 2)(x^2 - 12)}}{{x(2x^2-4x-16)}}\)

Теперь мы можем сократить \((x - 2)\) и \(x\) в знаменателе:
\(\frac{{x^2 - 12}}{{2x^2-4x-16}}\)

Заметим, что числитель и знаменатель оба являются многочленами третьей степени. Поэтому у них есть общий множитель \(x-2\). Мы можем сократить его:
\(\frac{{x^2 - 12}}{{2(x+2)(x-2)}}\)

В итоге получаем, что выражение \(\frac{{x}}{{x+2}} - \frac{{(x-2)^2}}{{(x^2-4) + (x^2-4x+4)}}\) не зависит от \(x\) для всех значений \(x \neq \pm2\).