445. Найдите линейную зависимость между векторами а =i+j+ 4k, b = i — 2ј и с = зі — 3ј + 4k, докажите

Chaynyy_Drakon

60

Для решения этой задачи нужно сначала проверить, существует ли линейная зависимость между данными векторами, а затем провести доказательство их компланарности.

1. Проверка на линейную зависимость:
Для того чтобы установить, есть ли линейная зависимость, нам нужно найти такие коэффициенты \(x\), \(y\), и \(z\), при которых линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору \(\mathbf{0}\).

Имеем:
\(\mathbf{0} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b} + z\mathbf{c}\)
где \(\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}\),
\(\mathbf{b} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j}\),
\(\mathbf{c} = 3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\).

Произведем несложные арифметические действия:
\(x(\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + y(\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) + z(3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) = \mathbf{0}\).

Раскрываем скобки:
\((x + y + 3z)\mathbf{i} + (x - 2y - 3z)\mathbf{j} + (4x + 4z)\mathbf{k} = \mathbf{0}\).

Теперь мы получили систему уравнений:
\(
\begin{align*}
x + y + 3z &= 0 \\
x - 2y - 3z &= 0 \\
4x + 4z &= 0 \\
\end{align*}
\)

Решим эту систему уравнений:

Выразим \(x\) и \(y\) через \(z\):

\(x = -z\)
\(y = -3z\)

Подставляем значения \(x\) и \(y\) в третье уравнение, чтобы проверить их согласованность:

\(4(-z) + 4z = 0\)
\(-z + z = 0\)
\(0 = 0\)

Таким образом, мы видим, что система уравнений имеет бесконечное множество решений, поскольку для любого значения \(z\) коэффициенты \(x\) и \(y\) удовлетворяют системе. Это свидетельствует о том, что данные векторы являются линейно зависимыми.

2. Доказательство компланарности:
Теперь нам нужно доказать, что данные векторы также компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Для этого проверим, существует ли такой ненулевой вектор \(\mathbf{n}\), перпендикулярный плоскости, в которой находятся векторы \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), и \(\mathbf{c}\). Если такой вектор существует, то он должен быть перпендикулярен всем этим векторам.

Возьмем произвольный вектор \(\mathbf{n} = n_1\mathbf{i} + n_2\mathbf{j} + n_3\mathbf{k}\), перпендикулярный плоскости.

Теперь проверим, является ли \(\mathbf{n}\) перпендикулярным ко всем векторам \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), и \(\mathbf{c}\).

Выполним скалярное произведение между векторами \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{a}\):
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{a} = (n_1\mathbf{i} + n_2\mathbf{j} + n_3\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k})\).

Раскрываем скобки и выполняем скалярное произведение:
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{a} = n_1 + n_2 + 4n_3\).

Теперь выполним скалярное произведение для векторов \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{b}\):
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{b} = (n_1\mathbf{i} + n_2\mathbf{j} + n_3\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j})\).

Раскрываем скобки и получаем:
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{b} = n_1 - 2n_2\).

И, наконец, проведем скалярное произведение для векторов \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{c}\):
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{c} = (n_1\mathbf{i} + n_2\mathbf{j} + n_3\mathbf{k}) \cdot (3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k})\).

Раскрываем скобки и получаем:
\(\mathbf{n} \cdot \mathbf{c} = 3n_1 - 3n_2 + 4n_3\).

Теперь мы имеем следующую систему уравнений:
\(
\begin{align*}
n_1 + n_2 + 4n_3 &= 0 \\
n_1 - 2n_2 &= 0 \\
3n_1 - 3n_2 + 4n_3 &= 0 \\
\end{align*}
\)

Решим эту систему уравнений:

Исключим \(n_1\) из второго и третьего уравнений:

\(-6n_2 + 4n_3 = 0\)

Из первого уравнения выразим \(n_1\):

\(n_1 = -n_2 - 4n_3\)

Подставим \(n_1\) во второе уравнение:

\(-n_2 - 4n_3 - 2n_2 = 0\)

\(-3n_2 - 4n_3 = 0\)

Теперь у нас есть два уравнения:
\(-6n_2 + 4n_3 = 0\)
\(-3n_2 - 4n_3 = 0\)

Решим эту систему уравнений:

Домножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:
\(-12n_2 + 8n_3 - 3n_2 - 4n_3 = 0\)
\(-15n_2 + 4n_3 = 0\)

Получили уравнение плоскости, в которой лежат векторы \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), и \(\mathbf{c}\).

Таким образом, мы доказали линейную зависимость векторов и их компланарность.