5. Якщо радіус кулі становить 25 см, і площина перетнула її на відстані 24 см від центру, то яка площа утвореного

Лёха

19

5. Для розв"язання цієї задачі використаємо відомі формули про площу круга та площу сегмента кола.

Площа круга обчислюється за формулою \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\), де \(\pi\) - це число пі (приблизно 3.14), а \(r\) - радіус круга.

Площа сегмента кола може бути обчислена таким чином: \(S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot (\alpha - \sin(\alpha))\), де \(r\) - радіус круга, а \(\alpha\) - центральний кут в радіанах.

Оскільки площина перетнула кулю на відстані 24 см від центру, то утворився сегмент кола. Площина відрізняється від площини нормального перерізу лише тим, що один з його радіусів замінений на відрізок, проведений з центру кулі до точки перетину площини з кулею.

Отже, для обчислення площі перерізу, нам потрібно обчислити площу сегмента кола.

Замінивши в формулі значення площі сегмента на 24 см^2 і радіус кулі на 25 см, ми можемо виразити центральний кут \(\alpha\):

\[24 = \frac{1}{2} \cdot (25)^2 \cdot (\alpha - \sin(\alpha))\]

Для знаходження точного значення кута \(\alpha\) можна скористатися числовими методами, але для спрощення ми можемо припустити, що \(\sin(\alpha)\) близько до 0. Тоді можемо записати:

\[24 = \frac{1}{2} \cdot (25)^2 \cdot (\alpha)\]

Після спрощення виразу будемо мати:

\[600 = 25^2 \cdot (\alpha)\]

Тепер, ділимо обидві частини рівняння на \(25^2\):

\[\alpha = \frac{600}{{25^2}}\]

Підставивши вираз для \(\alpha\) у формулу для обчислення площі сегмента кола, отримаємо:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \cdot (25)^2 \cdot \left(\frac{600}{{25^2}}\right) = 600 \, \text{см}^2\]

Отже, площа утвореного перерізу становить 600 см^2.

6. Для розв"язання цієї задачі використаємо відомі формули про площу круга та площу сегмента кола.

Знову, площа круга обчислюється за формулою \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\), де \(\pi\) - це число пі (приблизно 3.14), а \(r\) - радіус круга.

Також використовуємо формулу для обчислення площі сегмента кола: \(S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot (\alpha - \sin(\alpha))\), де \(r\) - радіус круга, а \(\alpha\) - центральний кут в радіанах.

Оскільки площина паралельна осі циліндра і перетинає його основу хордою, ми можемо припустити, що утворився сегмент кола.

Площина також видна під кутом 90° від центра іншої основи. Це означає, що центральний кут \(\alpha\) становить 90°.

Відомо, що площа утвореного перерізу дорівнює 86 см^2. Підставляємо це значення у формулу для площі сегмента:

\[86 = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \left(\frac{{\pi}}{2} - \sin\left(\frac{{\pi}}{2}\right)\right)\]

Знаходимо значення синуса 90°: \(\sin\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 1\).

Тепер, замінюємо цей вираз у формулі для обчислення площі сегмента:

\[86 = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \left(\frac{{\pi}}{2} - 1\right)\]

Спрощуємо вираз та помножимо обидві частини на 2:

\[172 = r^2 \cdot \left(\pi - 2\right)\]

Ділимо обидві частини на \(\pi - 2\):

\[r^2 = \frac{{172}}{{\pi - 2}}\]

Щоб знайти значення радіуса \(r\), обчислюємо квадратний корінь обох частин рівняння:

\[r = \sqrt{\frac{{172}}{{\pi - 2}}}\]

Отже, радіус основи циліндра становить \(\sqrt{\frac{{172}}{{\pi - 2}}}\) см.