7.11. Rewrite the expression as a power and find its value: 1) 125(5a 3b3)-2 а-2b4 when а = 0.2, b = 0.5; 2) (0.5а

Anatoliy_5019

63

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку с пояснениями.

1) Нам нужно переписать выражение в виде степени, а затем найти его значение. Исходное выражение: 125(5a^3b^3)^{-2}a^{-2}b^4.

Для начала, вспомним, что \((a^m)^n\) равно \(a^{mn}\). Поэтому мы можем переписать \(5a^3b^3\) в виде \(5(a^3b^3)\), где \(m = 3\) и \(n = -2\).

Теперь, применяя свойство степени \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\), мы можем переписать \(a^{-2}\) в виде \(\frac{1}{a^2}\).

Заменяя это в исходном выражении, получаем:

\(125(5(a^3b^3))^{-2}\frac{1}{a^2}b^4\).

Упростим скобки внутри степени:

\(125\left(\frac{5}{a^3b^3}\right)^{-2}\frac{1}{a^2}b^4\).

Свойство степени \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m\) позволяет нам переписать \(\frac{5}{a^3b^3}\) в виде \(\left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}\).

Заменяя это в выражении, получаем:

\(125\left(\left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}\right)^{-2}\frac{1}{a^2}b^4\).

А теперь мы можем возвести \(\left(\left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}\right)^{-2}\) в степень, учитывая, что \((a^m)^n\) равно \(a^{mn}\):

\(125\left(\frac{ab}{5}\right)^{2}\frac{1}{a^2}b^4\).

Сгруппируем все слагаемые с \(a\) в числителе и знаменателе:

\(125\frac{(ab)^2}{5^2}\frac{1}{a^2}b^4\).

Распишем числитель \((ab)^2\) в виде \(a^2b^2\):

\(125\frac{a^2b^2}{5^2}\frac{1}{a^2}b^4\).

Упростим:

\(125\frac{b^2}{25}b^4\) (здесь у нас \(a^2\) в числителе и \(a^2\) в знаменателе сокращаются).

Теперь возводим \(b\) в степень, учитывая, что \(b^m \cdot b^n = b^{m+n}\):

\(125\frac{b^{2+4}}{25}\).

Упрощаем числитель:

\(125\frac{b^6}{25}\).

Сокращаем 125 и 25:

\(5b^6\).

Теперь, чтобы найти значение этого выражения для \(a = 0.2\) и \(b = 0.5\), подставим вместо \(b\) значение 0.5 в выражение \(5b^6\):

\(5 \cdot (0.5)^6\).

Решив это числовое выражение, получаем ответ:

\(5 \cdot 0.015625 = 0.078125\).

Ответ: 0.078125.

2) Задача: \((0.5a^2)^{-2}:(32ab^?)\), где \(a = 0.5\) и \(b = 0.25\).

Начнем суперподробное решение!
Начнем с возврата к знакам степеней. Мы знаем, что \((a^m)^n = a^{mn}\), поэтому мы можем переписать \((0.5a^2)^{-2}\) как \(\frac{1}{(0.5a^2)^2}\).
Далее, применим закон отрицательной степени \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\), чтобы переписать \((0.5a^2)^2\) напрямую.
Поскольку \(0.5 = \frac{1}{2}\), мы можем записать \(\frac{1}{(0.5a^2)^2}\) как \(\frac{1}{\left(\frac{1}{2}a^2\right)^2}\).
Используя правило степени \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\), мы можем переписать \(\left(\frac{1}{2}a^2\right)^2\) как \(\frac{1^2}{2^2}a^{2 \cdot 2}\).
Упрощая числитель и знаменатель, получим \(\frac{1}{4}a^4\).
Таким образом, мы можем переписать исходное выражение как \(\frac{1}{4a^4} : (32ab^?)\).
Подставляя \(a = 0.5\) и \(b = 0.25\) в это выражение получаем \(\frac{1}{4(0.5)^4} : (32(0.5)(0.25)^?)\).
Решая числовые вычисления находим значение \(\frac{1}{4(0.5)^4} : (32(0.5)(0.25)^?) = \frac{1}{4(0.5)^4} : (8(0.5)(0.25)^?)\).
Т. к. \(0.5 = \frac{1}{2}\) и \(0.25 = \frac{1}{4}\), выражение будет равным \(\frac{1}{4\left(\frac{1}{2}\right)^4} : (8\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^?)\).
Затем мы можем вычислить степень в числителе и знаменателе: \(\frac{1}{4\left(\frac{1}{2}\right)^4} : (8\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^?) = \frac{1}{4\left(\frac{1}{2^4}\right)} : (8\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^?)\).
Мы также можем упростить знаменатель, подставив \(0.25\) вместо \(b\) и решив числовое вычисление \(\frac{1}{4\left(\frac{1}{2^4}\right)} : (8\left(\frac{1}{2}\right)(0.25)^?)\).
Теперь упростим дробь в числителе: \(\frac{1}{4\left(\frac{1}{2^4}\right)} : (8\left(\frac{1}{2}\right)(0.25)^?) = \frac{1}{4\left(\frac{1}{16}\right)} : (8\left(\frac{1}{2}\right)(0.25)^?) = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}} : (8 \cdot \frac{1}{2}(0.25)^?)\).
Сокращаем числитель и оставляем только знаменатель: \(\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}} : (8 \cdot \frac{1}{2}(0.25)^?)= \frac{1}{\frac{1}{4}} : \frac{1}{4}(0.25)^?\).
Мы знаем, что \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\), поэтому мы можем переписать выражение как \(\frac{1}{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{1}(0.25)^?\).
Теперь упрощаем числитель: \(\frac{1}{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{1}(0.25)^? = 1 \cdot 4(0.25)^?\).
Возводим \(0.25\) в степень \(?\), получаем: \(1 \cdot 4(0.25)^?\).
Ответом будет \(4(0.25)^?\).

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как мы пришли к этому результату!