Какова вероятность того, что число, названное учеником наугад из натуральных чисел от 1 до 20 включительно, является

Ягненка_9526

26

Чтобы определить вероятность того, что случайно выбранное число от 1 до 20 включительно является делителем данного числа, нам нужно знать, сколько делителей имеет каждое число от 1 до 20.

Давайте рассмотрим каждое число от 1 до 20 и подсчитаем его делители:

1: У числа 1 всего один делитель - само число 1.

2: Число 2 имеет два делителя - 1 и 2.

3: Число 3 также имеет два делителя - 1 и 3.

4: Число 4 имеет три делителя - 1, 2 и 4.

5: У числа 5 два делителя - 1 и 5.

6: Число 6 имеет четыре делителя - 1, 2, 3 и 6.

7: У числа 7 два делителя - 1 и 7.

8: Число 8 имеет четыре делителя - 1, 2, 4 и 8.

9: У числа 9 три делителя - 1, 3 и 9.

10: Число 10 имеет четыре делителя - 1, 2, 5 и 10.

11: У числа 11 два делителя - 1 и 11.

12: Число 12 имеет шесть делителей - 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

13: У числа 13 два делителя - 1 и 13.

14: Число 14 имеет четыре делителя - 1, 2, 7 и 14.

15: Число 15 также имеет четыре делителя - 1, 3, 5 и 15.

16: Число 16 имеет пять делителей - 1, 2, 4, 8 и 16.

17: У числа 17 два делителя - 1 и 17.

18: Число 18 имеет шесть делителей - 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

19: У числа 19 два делителя - 1 и 19.

20: Число 20 имеет шесть делителей - 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Теперь, чтобы найти вероятность, что случайно выбранное число из диапазона от 1 до 20 включительно является делителем данного числа, мы можем поделить количество делителей выбранного числа на общее количество делителей всех чисел в диапазоне от 1 до 20.

Общее количество делителей от 1 до 20 равно:

1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6 + 2 + 4 + 4 + 5 + 2 + 6 + 2 + 6 = 72

Таким образом, общее количество делителей равно 72.

Теперь посмотрим на количество делителей, равных случайно выбранному числу. Здесь нам нужно рассмотреть все числа от 1 до 20 и посчитать, сколько раз случайно выбранное число появляется в качестве делителя.

Например, если случайно выбранное число - это 3, то оно будет делителем числа 3 и числа 6, поэтому оно встречается два раза.

Мы можем заметить, что каждое простое число будет иметь два делителя, поскольку они делятся только на 1 и на само себя. Исключением из этого правила являются числа 1 и 2, которые имеют только один делитель.

Теперь вычислим вероятность. Пусть \(n\) - это случайно выбранное число от 1 до 20. Вероятность того, что оно будет делителем данного числа, обозначим как \(P(n)\).

Для каждого числа от 1 до 20 вероятность вычисляется следующим образом:

\[P(1) = \frac{1}{72}\]
\[P(2) = \frac{2}{72}\]
\[P(3) = \frac{2}{72}\]
\[P(4) = \frac{3}{72}\]
\[P(5) = \frac{2}{72}\]
\[P(6) = \frac{4}{72}\]
\[P(7) = \frac{2}{72}\]
\[P(8) = \frac{4}{72}\]
\[P(9) = \frac{3}{72}\]
\[P(10) = \frac{4}{72}\]
\[P(11) = \frac{2}{72}\]
\[P(12) = \frac{6}{72}\]
\[P(13) = \frac{2}{72}\]
\[P(14) = \frac{4}{72}\]
\[P(15) = \frac{4}{72}\]
\[P(16) = \frac{5}{72}\]
\[P(17) = \frac{2}{72}\]
\[P(18) = \frac{6}{72}\]
\[P(19) = \frac{2}{72}\]
\[P(20) = \frac{6}{72}\]

Обратите внимание, что сумма вероятностей для всех чисел должна быть равна 1.

Таким образом, мы можем привести окончательный ответ в виде таблицы вероятностей:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & P(n) \\
\hline
1 & \frac{1}{72} \\
2 & \frac{2}{72} \\
3 & \frac{2}{72} \\
4 & \frac{3}{72} \\
5 & \frac{2}{72} \\
6 & \frac{4}{72} \\
7 & \frac{2}{72} \\
8 & \frac{4}{72} \\
9 & \frac{3}{72} \\
10 & \frac{4}{72} \\
11 & \frac{2}{72} \\
12 & \frac{6}{72} \\
13 & \frac{2}{72} \\
14 & \frac{4}{72} \\
15 & \frac{4}{72} \\
16 & \frac{5}{72} \\
17 & \frac{2}{72} \\
18 & \frac{6}{72} \\
19 & \frac{2}{72} \\
20 & \frac{6}{72} \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, мы ответили на задачу и предоставили подробное объяснение каждого шага.