А) Докажите, что выражение x_n = 3 + 2n является бесконечно большим с помощью определения бесконечно большого (на языке

Antonovna

28

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

А) Для начала, давайте вспомним определение бесконечно большой последовательности на языке "m – n". Говорят, что последовательность \(x_n\) является бесконечно большой, если для любого числа \(M\), существует натуральное число \(N\), такое что для всех натуральных чисел \(n > N\), выполняется неравенство \(x_n > M\).

Теперь, чтобы доказать, что выражение \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно большим на языке "m – n", мы должны показать, что для любого значения \(M\), мы можем найти натуральное число \(N\) такое, что для всех натуральных чисел \(n > N\), выполняется \(3 + 2n > M\). Давайте посмотрим, как мы можем это сделать:

Пусть у нас есть произвольное значение \(M\). Мы хотим найти такое натуральное число \(N\), чтобы для всех натуральных чисел \(n > N\), выполнялось неравенство \(3 + 2n > M\).

Решим это неравенство относительно \(n\):
\[2n > M - 3\]
\[n > \frac{M - 3}{2}\]

Таким образом, мы можем взять \(N = \left\lceil \frac{M - 3}{2} \right\rceil + 1\), где \(\left\lceil x \right\rceil\) обозначает наименьшее целое число, которое больше или равно \(x\).

Теперь мы можем утверждать, что для любого значения \(M\), существует натуральное число \(N\), такое что для всех натуральных чисел \(n > N\) выполняется \(x_n = 3 + 2n > M\). Следовательно, выражение \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно большим на языке "m – n".

Б) Чтобы найти значение предела \(\lim_{{n \to \infty}} x_n\), где \(x_n = 3 + 2n\), мы можем просто рассмотреть какое-либо большое значение \(n\) и увидеть, как изменяется последовательность. Когда \(n\) стремится к бесконечности, \(x_n\) будет стремиться к бесконечности.

Выберем, например, \(n = 100\):
\[x_{100} = 3 + 2 \cdot 100 = 3 + 200 = 203\]

Как видно, значение \(x_n\) становится очень большим с ростом значения \(n\). При увеличении \(n\) значения \(x_n\) будут увеличиваться без ограничения. Таким образом, предел \(\lim_{{n \to \infty}} x_n\) равен бесконечности.

Итак, значение предела \(\lim_{{n \to \infty}} x_n\) при \(n\) стремящемся к бесконечности равно бесконечности.