а) Какова площадь сечения конуса, проходящего через две образующие с углом 45°, если высота конуса составляет 6

Валентиновна

22

а) Чтобы найти площадь сечения конуса, проходящего через две образующие с углом 45°, нам понадобится знать радиус осевого сечения конуса.

Давайте вначале найдем радиус осевого сечения. Для этого можно воспользоваться теоремой синусов в треугольнике осевого сечения. Мы знаем угол при вершине осевого сечения (60°) и высоту конуса (6 см). Поэтому мы можем использовать соотношение \(\frac{r}{\sin{60°}} = \frac{6}{\sin{45°}}\), где \(r\) - радиус осевого сечения.

Применяя теорему синусов, получаем \(\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Упростим это уравнение для нахождения радиуса \(r\): \(r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\).

Итак, мы получили радиус осевого сечения конуса. Теперь нам нужно найти площадь сечения конуса. Площадь сечения конуса можно найти по формуле \(\pi \cdot r^2\), где \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус.

Подставим значение радиуса, которое мы только что нашли, в эту формулу: площадь сечения конуса = \(\pi \cdot \left(\frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2\).

Упростим это выражение и вычислим его численное значение:
площадь сечения конуса = \(\pi \cdot \frac{36 \cdot 3}{2} = 54\pi\).

Итак, площадь сечения конуса, проходящего через две образующие с углом 45°, равна \(54\pi\).

б) Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, мы можем использовать формулу \(S = \pi \cdot r \cdot l\), где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус осевого сечения, а \(l\) - образующая конуса.

У нас уже есть высота конуса (6 см) и угол при вершине осевого сечения (60°). Чтобы найти образующую конуса (\(l\)), мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике осевого сечения.

Применяя теорему косинусов, получаем \(l^2 = r^2 + 6^2 - 2 \cdot r \cdot 6 \cdot \cos{60°}\).

Упростим это уравнение для нахождения образующей \(l\): \(l^2 = r^2 + 36 - 12r\).

Мы уже выразили \(l\) в терминах \(r\), поэтому мы можем подставить это значение в формулу \(S = \pi \cdot r \cdot l\).

Подставим выражение для \(l\) в формулу и упростим ее: \(S = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + 36 - 12r}\).

Вычислим численное значение площади боковой поверхности, применяя эту формулу с использованием значения радиуса, которое мы нашли ранее.

Площадь боковой поверхности конуса = \(\pi \cdot \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\left(\frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2 + 36 - 12 \cdot \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\).

Упростим это выражение и вычислим его численное значение:
площадь боковой поверхности конуса = \(6 \pi \sqrt{3}\).

Итак, площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна 6 см и угол при вершине осевого сечения составляет 60°, равна \(6 \pi \sqrt{3}\).