А) Каковы значения, при которых уравнение 4 ctg 2х + ctg^2 2x - 5 - 0 равно нулю? б) Найдите все значения

Елена

9

Хорошо, решим данную задачу.

а) Нам дано уравнение \(4 \cot(2x) + \cot^2(2x) - 5 = 0\) и мы должны найти значения, при которых оно равно нулю. Для начала, заметим, что \(\cot^2(2x) = \left(\frac{1}{\tan(2x)}\right)^2 = \frac{1}{\tan^2(2x)}\).

Теперь перепишем наше уравнение:
\[4 \cot(2x) + \frac{1}{\tan^2(2x)} - 5 = 0\]

Для того чтобы продолжить решение, давайте заменим тригонометрические функции с помощью определений.

Мы знаем, что \(\cot(2x) = \frac{1}{\tan(2x)}\) и \(\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\). Подставим это в наше уравнение:

\[4 \cdot \frac{1}{\frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}} + \frac{1}{\left(\frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\right)^2} - 5 = 0\]

Сократим дроби и упростим выражение:

\[\frac{2(1 - \tan^2(x))}{\tan(x)} + \frac{(1 - \tan^2(x))^2}{(2\tan(x))^2} - 5 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение с переменной \(\tan(x)\), давайте решим его. Пусть \(y = \tan(x)\), тогда:

\[\frac{2(1 - y^2)}{y} + \frac{(1 - y^2)^2}{(2y)^2} - 5 = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{2 - 2y^2}{y} + \frac{1 - 2y^2 + y^4}{4y^2} - 5 = 0\]

Умножим каждую часть уравнения на \(4y^2\) для упрощения:

\[8 - 8y^2 + 1 - 2y^2 + y^4 - 20y^2 = 0\]

Сгруппируем члены и получим квадратное уравнение:

\[y^4 - 30y^2 + 9 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Давайте введем новую переменную \(z = y^2\):

\[z^2 - 30z + 9 = 0\]

Решим его с помощью квадратного трехчлена или дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4(1)(9) = 900 - 36 = 864\]

Поскольку дискриминант положительный, у нас будет два действительных корня. Решим это уравнение:

\[z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{864}}{2} = \frac{30 \pm 12\sqrt{6}}{2}\]

\[z_1 = 15 + 6\sqrt{6}, \quad z_2 = 15 - 6\sqrt{6}\]

Поскольку \(z = y^2\), найдем корни \(y\):

\[y_1 = \sqrt{z_1} \approx 4.217, \quad y_2 = \sqrt{z_2} \approx 0.533\]

Теперь найдем значения \(x\), используя обратные функции для тангенса:

\[x_1 = \arctan(y_1), \quad x_2 = \arctan(y_2)\]

Таким образом, значения \(x\), при которых уравнение \(4 \cot(2x) + \cot^2(2x) - 5 = 0\), равно нулю, это \(x_1 \approx 1.349\) и \(x_2 \approx 0.484\).

б) Теперь найдем все значения \(x\), находящиеся в промежутке \([-π;0]\), при которых данное уравнение имеет корни.

Поскольку промежуток \([-π;0]\), мы ищем значения \(x\) в этом диапазоне, если уравнение имеет корни.

Ранее мы уже нашли значения \(x_1 \approx 1.349\) и \(x_2 \approx 0.484\). Давайте проверим, попадают ли они в данный промежуток. Поскольку \(x_1 \approx 1.349 > 0\) и \(x_2 \approx 0.484 > 0\), они не подходят.

Таким образом, в промежутке \([-π;0]\) уравнение не имеет корней.