а) Постройте график функции у = х2 на интервале [–4; 4]. б) Проходит ли график функции через точку а (0,1; 0,0025)?

Степан

32

Хорошо, давайте разберем эту задачу по шагам:

а) Построим график функции \(y = x^2\) на интервале \([-4, 4]\).

Для построения графика данной функции мы можем использовать следующий подход:
1. Выберем несколько точек на интервале \([-4, 4]\). Давайте выберем, например, точки \((-4, 16)\), \((-2, 4)\), \((0, 0)\), \((2, 4)\) и \((4, 16)\).
2. Подставим значения \(x\) в функцию \(y = x^2\) и найдем соответствующие значения \(y\).
Для точки \((-4, 16)\): \(y = (-4)^2 = 16\)
Для точки \((-2, 4)\): \(y = (-2)^2 = 4\)
Для точки \((0, 0)\): \(y = (0)^2 = 0\)
Для точки \((2, 4)\): \(y = (2)^2 = 4\)
Для точки \((4, 16)\): \(y = (4)^2 = 16\)
3. Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их гладкой кривой.

Получаем график функции \(y = x^2\) на интервале \([-4, 4]\):

\[graph\]

б) Чтобы узнать, проходит ли график функции через точку \(A(0,1)\), подставим координаты этой точки в уравнение функции и проверим, выполняется ли равенство.

Подставим \(x = 0\) и \(y = 1\) в уравнение \(y = x^2\):
\[1 = (0)^2 = 0\]

Мы видим, что равенство не выполняется, поэтому график функции \(y = x^2\) не проходит через точку \(A(0,1)\).

в) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции \(y = x^2\) с прямой \(y = a\), подставим \(y = a\) в уравнение функции \(y = x^2\) и решим полученное квадратное уравнение относительно \(x\).

Подставляем \(y = a\) в уравнение \(y = x^2\):
\[a = x^2\]

Решим это уравнение:
\[
\begin{align*}
x^2 &= a \\
x &= \sqrt{a} \quad \text{(или } x = -\sqrt{a} \text{)}
\end{align*}
\]

Таким образом, точки пересечения графика функции \(y = x^2\) с прямой \(y = a\) имеют координаты \((\sqrt{a}, a)\) и \((- \sqrt{a}, a)\).

г) Для нахождения максимального и минимального значений функции на интервале \([-4, 4]\), мы можем рассмотреть вершину графика функции.

Функция \(y = x^2\) имеет форму параболы ветвями, направленными вверх. Вершина этой параболы находится в точке с координатами \((0, 0)\). Поэтому минимальное значение функции на интервале \([-4, 4]\) равно 0 и достигается при \(x = 0\).

Чтобы найти максимальное значение функции на интервале \([-4, 4]\), необходимо найти точку на графике, имеющую наибольшее значение координаты \(y\). В данном случае, наибольшее значение достигается при \(x = 4\) или \(x = -4\) и равно \(y = 16\).

Таким образом, максимальным значением функции на интервале \([-4, 4]\) является 16, достигаемое при \(x = 4\), а минимальное значение равно 0, достигается при \(x = 0\).