а) Представьте на графике уравнение: x^2 + y = 5. б) Изобразите на графике уравнение: xy = 15. в) Постройте график

Магия_Реки_8769

54

Конечно, давайте пойдем по порядку и рассмотрим каждую задачу. Я помогу вам представить каждое уравнение на графике.

а) Уравнение \(x^2 + y = 5\) является квадратным уравнением. Для того чтобы построить его график, мы можем создать таблицу значений для переменных \(x\) и \(y\) и затем нарисовать точки на координатной плоскости.

Давайте найдем несколько значений для \(x\) и вычислим соответствующие значения для \(y\):

\[
\begin{align*}
x = -3: & \quad (-3)^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 9 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = -4 \\
x = -2: & \quad (-2)^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 4 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 1 \\
x = -1: & \quad (-1)^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 1 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 4 \\
x = 0: & \quad 0^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 5 \\
x = 1: & \quad 1^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 1 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 4 \\
x = 2: & \quad 2^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 4 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 1 \\
x = 3: & \quad 3^2 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad 9 + y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = -4 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем построить график, поместив наши точки на координатную плоскость и соединив их линией:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -4 \\
-2 & 1 \\
-1 & 4 \\
0 & 5 \\
1 & 4 \\
2 & 1 \\
3 & -4 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{xy}
\begin{axis}[
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -4,
xmax = 4,
ymin = -6,
ymax = 6,
grid = both,
axis lines = middle,
width=\textwidth,
height=8cm
]
\addplot[
color = blue,
mark = *,
only marks,
mark size=3pt,
]
coordinates {
(-3, -4)
(-2, 1)
(-1, 4)
(0, 5)
(1, 4)
(2, 1)
(3, -4)
};
\end{axis}
\end{xy}
\end{align*}
\]

На графике выше представлено уравнение \(x^2 + y = 5\). Каждая точка соответствует значению \(x\) и \(y\) из таблицы. Видно, что график представляет собой параболу, симметричную относительно оси \(y\), и пересекает ось \(y\) в точке (0, 5).

б) Теперь рассмотрим уравнение \(xy = 15\). Чтобы построить его график, также создадим таблицу значений:

\[
\begin{align*}
x = -5: & \quad (-5)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = -3 \\
x = -3: & \quad (-3)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = -5 \\
x = -1: & \quad (-1)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = -15 \\
x = 1: & \quad (1)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = 15 \\
x = 3: & \quad (3)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = 5 \\
x = 5: & \quad (5)(y) = 15 \quad\Rightarrow\quad y = 3 \\
\end{align*}
\]

Построим график, используя полученные точки:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & -3 \\
-3 & -5 \\
-1 & -15 \\
1 & 15 \\
3 & 5 \\
5 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{xy}
\begin{axis}[
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -6,
xmax = 6,
ymin = -20,
ymax = 20,
grid = both,
axis lines = middle,
width=\textwidth,
height=8cm
]
\addplot[
color = blue,
mark = *,
only marks,
mark size=3pt,
]
coordinates {
(-5, -3)
(-3, -5)
(-1, -15)
(1, 15)
(3, 5)
(5, 3)
};
\end{axis}
\end{xy}
\end{align*}
\]

На графике выше представлено уравнение \(xy = 15\). Он представляет собой график гиперболы, симметричной относительно обеих осей координат и проходящей через точки (1, 15) и (-1, -15).

в) Перейдем к уравнению \(2y + 3x = 1\). Для его графического представления создадим таблицу значений:

\[
\begin{align*}
x = -3: & \quad 2y + 3(-3) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 5 \\
x = -2: & \quad 2y + 3(-2) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = 7 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{7}{2} \\
x = -1: & \quad 2y + 3(-1) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = 2 \\
x = 0: & \quad 2y + 3(0) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2} \\
x = 1: & \quad 2y + 3(1) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -1 \\
x = 2: & \quad 2y + 3(2) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = -5 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{5}{2} \\
x = 3: & \quad 2y + 3(3) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2y = -8 \quad\Rightarrow\quad y = -4 \\
\end{align*}
\]

Построим график, используя полученные значения:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 5 \\
-2 & \frac{7}{2} \\
-1 & 2 \\
0 & \frac{1}{2} \\
1 & -1 \\
2 & -\frac{5}{2} \\
3 & -4 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{xy}
\begin{axis}[
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -4,
xmax = 4,
ymin = -6,
ymax = 6,
grid = both,
axis lines = middle,
width=\textwidth,
height=8cm
]
\addplot[
color = blue,
mark = *,
only marks,
mark size=3pt,
]
coordinates {
(-3, 5)
(-2, 7/2)
(-1, 2)
(0, 1/2)
(1, -1)
(2, -5/2)
(3, -4)
};
\end{axis}
\end{xy}
\end{align*}
\]

На данном графике представлено уравнение \(2y + 3x = 1\). График представляет линию, которая пересекает оси координат в точке \((\frac{1}{3}, 0)\) и \((0, \frac{1}{2})\).

г) Наконец, у нас есть уравнение \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус круга. Для построения графика нужно задать значение \(r\). Построим график для \(r = 1\):

\[
\begin{align*}
\begin{xy}
\begin{axis}[
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -2,
xmax = 2,
ymin = -2,
ymax = 2,
grid = both,
axis lines = middle,
width=\textwidth,
height=8cm
]
\addplot[
color = blue,
samples = 100,
domain = 0:2*pi,
]
({cos(deg(x))}, {sin(deg(x)}) node[above] {$x^2 + y^2 = 1$};
\end{axis}
\end{xy}
\end{align*}
\]

На графике выше представлено уравнение \(x^2 + y^2 = 1\), которое является уравнением окружности радиусом 1 и центром в начале координат. Каждая точка на этом графике находится на одинаковом расстоянии от начала координат.

Надеюсь, эти пошаговые решения и графики помогут вам понять и визуализировать данные уравнения. Я с радостью отвечу на них!