Каково множество допустимых значений переменной в выражении 2+x/(x+3)(x-7)?

Evgeniy

18

Давайте решим данную задачу пошагово:

1. Начнем с определения множества допустимых значений переменной. В данном контексте, множество допустимых значений представляет собой все значения переменной, при которых выражение имеет определенное значение.

2. Для выражения \(2+\frac{x}{(x+3)(x-7)}\) необходимо учесть два момента: деление на ноль и особенности в знаменателе.

3. Начнем с рассмотрения деления на ноль. Знаменатель не должен быть равен нулю. Исключим два случая: \(x+3=0\) и \(x-7=0\). Решим эти уравнения:

\(x+3=0\) => \(x=-3\)

\(x-7=0\) => \(x=7\)

Таким образом, значения x=-3 и x=7 являются исключенными значениями.

4. Теперь рассмотрим особенности в знаменателе. Мы имеем множитель \((x+3)(x-7)\), и знаменатель не может равняться нулю. Значит, нам нужно исключить значения переменной, которые делают знаменатель равным нулю. Запишем это уравнение:

\((x+3)(x-7) \neq 0\)

5. Чтобы решить это уравнение, разложим его на множители:

\(x^2-7x+3x-21 \neq 0\)

\(x^2-4x-21 \neq 0\)

6. Для того чтобы решить это квадратное уравнение, нам нужно найти его корни. Мы можем использовать квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), где a = 1, b = -4 и c = -21:

\(D = b^2-4ac\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)\)

\(D = 16 + 84\)

\(D = 100\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня:

\(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4+10}{2} = 7\)

\(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4-10}{2} = -3\)

7. Теперь у нас есть два значения переменной, которые мы уже исключили в предыдущих шагах: x=-3 и x=7. Поэтому множество допустимых значений переменной составляет все значения x, кроме x=-3 и x=7. Математически это записывается в виде:

\(-\infty < x < -3 \) или \(-3 < x < 7 \) или \(7 < x < +\infty \)

Или, в краткой форме:

\( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 7) \cup (7, +\infty) \)

Таким образом, ответ на задачу заключается в том, что множество допустимых значений переменной x в выражении \(2+\frac{x}{(x+3)(x-7)}\) состоит из всех чисел, кроме -3 и 7.