Чему равен угловой коэффициент касательной графику функции y=3ctgx-2x в точке x0=пи/2?

Дмитрий

47

Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной графику функции $y=3\cot (x)-2x$ в точке $x_0=\frac{\pi }{2}$, мы должны воспользоваться производной.

Производная функции $y$ по $x$ (обозначается как $y"$ или $\frac{dy}{dx}$) показывает скорость изменения функции $y$ относительно $x$ в каждой точке графика. Угловой коэффициент касательной в определенной точке равен значению производной в этой точке.

Для нахождения производной функции $y$, сначала найдем производные от каждого слагаемого. Затем применим правило дифференцирования функции $y=3\cot (x)-2x$:

1) Производная от константы равна нулю. Таким образом, производная от $-2x$ будет равна $-2$.
2) Производная от функции $\cot (x)$ найдется с помощью цепного правила дифференцирования. Правило цепной дифференциации гласит, что для функции $f(g(x))$ производная будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Дифференцируем $\cot (x)$:
$$\frac{d}{dx}(\cot (x))=-{\csc }^2(x)$$

Теперь, найдем производную функции $y=3\cot (x)-2x$:
$$y"=3\frac{d}{dx}(\cot (x))-2\frac{d}{dx}(x)$$
$$y"=3(-{\csc }^2(x))-2$$
$$y"=-3{\csc }^2(x)-2$$

Теперь перейдем к нашей задаче. Чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $x_0=\frac{\pi }{2}$, подставим $x_0$ в выражение для производной:

$$y"=-3{\csc }^2(\frac{\pi }{2})-2$$

Здесь, $\csc (\frac{\pi }{2})$ равно $\frac{1}{\sin (\frac{\pi }{2})}$, и поскольку $\sin (\frac{\pi }{2})=1$, мы можем записать:

$$\csc (\frac{\pi }{2})=\frac{1}{\sin (\frac{\pi }{2})}=\frac{1}{1}=1$$

Таким образом, мы можем продолжить наше выражение:

$$y"=-3{\csc }^2(\frac{\pi }{2})-2=-3(1{)}^2-2=-3-2=-5$$

Получили, что в точке $x_0=\frac{\pi }{2}$, угловой коэффициент касательной графику функции $y=3\text{ctg}(x)-2x$ равен $-5$.

Надеюсь, это решение понятно и полезно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.