Чему равен угловой коэффициент касательной графику функции y=3ctgx-2x в точке x0=пи/2?

Дмитрий

47

Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной графику функции \(y = 3\cot(x)-2x\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\), мы должны воспользоваться производной.

Производная функции \(y\) по \(x\) (обозначается как \(y"\) или \(\frac{dy}{dx}\)) показывает скорость изменения функции \(y\) относительно \(x\) в каждой точке графика. Угловой коэффициент касательной в определенной точке равен значению производной в этой точке.

Для нахождения производной функции \(y\), сначала найдем производные от каждого слагаемого. Затем применим правило дифференцирования функции \(y = 3\cot(x)-2x\):

1) Производная от константы равна нулю. Таким образом, производная от \(-2x\) будет равна \(-2\).
2) Производная от функции \(\cot(x)\) найдется с помощью цепного правила дифференцирования. Правило цепной дифференциации гласит, что для функции \(f(g(x))\) производная будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Дифференцируем \(\cot(x)\):
\[\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)\]

Теперь, найдем производную функции \(y = 3\cot(x)-2x\):
\[y" = 3\frac{d}{dx}(\cot(x))-2\frac{d}{dx}(x)\]
\[y" = 3(-\csc^2(x))-2\]
\[y" = -3\csc^2(x)-2\]

Теперь перейдем к нашей задаче. Чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\), подставим \(x_0\) в выражение для производной:

\[y" = -3\csc^2(\frac{\pi}{2})-2\]

Здесь, \(\csc(\frac{\pi}{2})\) равно \(\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})}\), и поскольку \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), мы можем записать:

\[\csc(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{1} = 1\]

Таким образом, мы можем продолжить наше выражение:

\[y" = -3\csc^2(\frac{\pi}{2})-2 = -3(1)^2-2 = -3-2 = -5\]

Получили, что в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\), угловой коэффициент касательной графику функции \(y = 3\ctg(x)-2x\) равен \(-5\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.