Чему равна длина стороны правильного шестиугольника, который вписан в окружность с радиусом, равным

Морской_Искатель

33

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Известно, что правильный шестиугольник является многоугольником с шестью равными сторонами и углами. Все его углы равны 120 градусам.

2. Если шестиугольник вписан в окружность, то его вершины лежат на окружности, а стороны являются хордами окружности.

3. Радиус окружности - это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности. Давайте обозначим его как \(R\).

4. Для решения задачи, нам нужно найти длину стороны шестиугольника. Обозначим её как \(a\).

5. Заметим, что внутри окружности у нас образованы равносторонний треугольник, состоящий из центра окружности и двух точек на окружности, являющихся концами хорды (стороны шестиугольника).

6. В таком треугольнике каждая из трёх сторон равна радиусу окружности \(R\). Обозначим длину стороны этого треугольника как \(b\).

7. Из свойств равностороннего треугольника, каждый из его углов равен 60 градусам.

8. Построив биссектрису угла внутри такого треугольника, мы разобьем его на два равносторонних треугольника, каждый из которых имеет углы по 60 градусов.

9. Рассмотрим один из таких треугольников и обозначим его высоту - расстояние от центра окружности до середины стороны \(b\). Обозначим это расстояние как \(h\).

10. Заметим, что этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников. Один из них - это треугольник, образованный радиусом окружности \(R\), высотой \(h\) и стороной \(a/2\).

11. Используя теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника, мы можем записать следующее уравнение:
\[R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2\]

12. Также заметим, что мы можем разделить равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов.

13. Найдем значение \(h\) в этом случае. Создадим треугольник, у которого основание равно \(a/2\), \(h\) - высота, и прямой угол образован вертикальной линией, проведенной из \(h\) к основанию. Этот треугольник - 30, 60, 90 градусный треугольник.

14. В этом треугольнике степень катета, прилегающего к углу 30 градусов, к гипотенузе равна \(\sqrt{3}/2\).

15. Следовательно, значение \(h\) равно \((\sqrt{3}/2) \cdot (a/2) = \frac{\sqrt{3}}{4} a\).

16. Теперь мы можем записать наше уравнение по-другому:
\[R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a\right)^2\]

17. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[R^2 = \frac{1}{4} a^2 + \frac{3}{16} a^2 = \frac{7}{16} a^2\]

18. Теперь мы можем найти значение \(a^2\):
\[a^2 = \frac{16}{7} R^2\]

19. И, наконец, найдем значение \(a\) - длины стороны шестиугольника:
\[a = \sqrt{\frac{16}{7} R^2} = \frac{4}{\sqrt{7}} R\]

Таким образом, длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом \(R\), равна \(\frac{4}{\sqrt{7}} R\).