Чему равна площадь правильного пятиугольника, если его сторона измеряет 3 см, а радиус вписанной в него окружности?

Nikolaevich

43

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильного пятиугольника.

Радиус вписанной в правильный пятиугольник окружности обозначим как \(r\). Мы знаем, что радиус окружности вписанной в правильный многоугольник является расстоянием от его центра до середины каждой стороны этого многоугольника.

Так как это правильный пятиугольник, то все его стороны и углы равны. Обозначим одну из сторон пятиугольника как \(a\). Мы знаем, что каждая сторона пятиугольника равна 3 см.

Теперь перейдем к построению треугольника, состоящего из радиуса окружности, стороны пятиугольника и высоты, опущенной из вершины пятиугольника на сторону.

По определению, высота треугольника является перпендикуляром, проведенным из вершины этого треугольника на основание.

Треугольник, состоящий из стороны пятиугольника, радиуса окружности и высоты, является прямоугольным. Основание данного треугольника равно стороне пятиугольника \(a\), его гипотенуза равна радиусу окружности \(r\), а высота \(h\) - это расстояние от вершины пятиугольника до центра, т.е. радиус окружности \(r\).

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем следующее уравнение:

\[a^2 = r^2 + h^2\]

Теперь нам нужно найти значение высоты \(h\). Мы можем решить это с помощью тригонометрии.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из стороны пятиугольника \(a/2\), радиуса окружности \(r\) и половины высоты \(h/2\). Вершина пятиугольника является углом этого треугольника.

Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать тангенс угла, чтобы найти значение \(h/2\):

\[\tan(\theta) = \frac{h/2}{r}\]
\[h/2 = r \tan(\theta)\]

Теперь у нас есть уравнение для \(a\):

\[a^2 = r^2 + (2r\tan(\theta))^2\]
\[a^2 = r^2 + 4r^2\tan^2(\theta)\]
\[a^2 = r^2(1 + 4\tan^2(\theta))\]

Теперь мы знаем уравнение для \(a^2\). Подставим известные значения в это уравнение:

\[3^2 = r^2(1 + 4\tan^2(\theta))\]
\[9 = r^2(1 + 4\tan^2(\theta))\]

Решим это уравнение относительно значения \(r^2\):

\[r^2 = \frac{9}{1 + 4\tan^2(\theta)}\]

Теперь, зная значение \(r^2\), мы можем найти площадь \(S\) правильного пятиугольника, используя формулу:

\[S = \frac{5a\cdot h}{2}\]

Подставим известные значения в эту формулу:

\[S = \frac{5\cdot 3\cdot (2r\tan(\theta))}{2}\]
\[S = 15r\tan(\theta)\]

Таким образом, мы получили окончательный ответ: площадь правильного пятиугольника равна \(15r\tan(\theta)\), где \(r\) - радиус вписанной окружности, а \(\theta\) - угол между радиусами окружности и стороной пятиугольника.