Чему равна производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6?

Скрытый_Тигр

65

Хорошо! Чтобы найти производную функции $f(x)=2x+\cot (x)$ в точке $x_0=\frac{\pi }{6}$, мы воспользуемся определением производной и применим правила дифференцирования.

1. Прежде чем продолжить, давайте рассмотрим некоторые основные правила дифференцирования:
* Правило константы: если $c$ - произвольная константа, то производная от $c$ по $x$ равна $0$.
* Правило линейности: если $f(x)=a(x)+b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ - функции, а $a"(x)$ и $b"(x)$ - их производные, то производная от $f(x)$ равна $f"(x)=a"(x)+b"(x)$.
* Производная от функции $x^n$ равна $n{x}^{n-1}$, где $n$ - произвольное действительное число.
* Производная от функции $\cot (x)$ равна $-{\csc }^2(x)$.

2. Теперь, приступим к нахождению производной функции $f(x)=2x+\cot (x)$:
* Производная от функции $2x$ равна $2$, так как $x$ возводится в степень $1$, а производная от $x$ равна $1$.
* Производная от функции $\cot (x)$ равна $-{\csc }^2(x)$ (используем правило для производной от $\cot (x)$).

3. Теперь, найдём производную функции $2x+\cot (x)$ путем сложения двух производных:
$$f"(x)=(2)+(-{\csc }^2(x))=2-{\csc }^2(x)$$

4. Чтобы найти значение производной в точке $x_0=\frac{\pi }{6}$, подставляем $x_0$ в производную функцию:
$$f"\left(\frac{\pi }{6}\right)=2-{\csc }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)$$

5. Теперь, осталось вычислить значение ${\csc }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)$:
$\csc \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.
Отсюда, ${\csc }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)=(\csc \left(\frac{\pi }{6}\right){)}^2=(2{)}^2=4$.

6. Заменяем значение ${\csc }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)$ в производной функции:
$$f"\left(\frac{\pi }{6}\right)=2-{\csc }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)=2-4=-2$$

Итак, производная функции $f(x)=2x+\cot (x)$ в точке $x_0=\frac{\pi }{6}$ равна $-2$.