Чему равна производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6?

Скрытый_Тигр

65

Хорошо! Чтобы найти производную функции \(f(x)=2x+\cot(x)\) в точке \(x_0=\frac{\pi}{6}\), мы воспользуемся определением производной и применим правила дифференцирования.

1. Прежде чем продолжить, давайте рассмотрим некоторые основные правила дифференцирования:
* Правило константы: если \(c\) - произвольная константа, то производная от \(c\) по \(x\) равна \(0\).
* Правило линейности: если \(f(x)=a(x)+b(x)\), где \(a(x)\) и \(b(x)\) - функции, а \(a"(x)\) и \(b"(x)\) - их производные, то производная от \(f(x)\) равна \(f"(x)=a"(x)+b"(x)\).
* Производная от функции \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\), где \(n\) - произвольное действительное число.
* Производная от функции \(\cot(x)\) равна \(-\csc^2(x)\).

2. Теперь, приступим к нахождению производной функции \(f(x)=2x+\cot(x)\):
* Производная от функции \(2x\) равна \(2\), так как \(x\) возводится в степень \(1\), а производная от \(x\) равна \(1\).
* Производная от функции \(\cot(x)\) равна \(-\csc^2(x)\) (используем правило для производной от \(\cot(x)\)).

3. Теперь, найдём производную функции \(2x+\cot(x)\) путем сложения двух производных:
\[f"(x) = (2) + (-\csc^2(x)) = 2 - \csc^2(x)\]

4. Чтобы найти значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{6}\), подставляем \(x_0\) в производную функцию:
\[f"\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 - \csc^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

5. Теперь, осталось вычислить значение \(\csc^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\):
\(\csc\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\).
Отсюда, \(\csc^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = (\csc\left(\frac{\pi}{6}\right))^2 = (2)^2 = 4\).

6. Заменяем значение \(\csc^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\) в производной функции:
\[f"\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 - \csc^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 - 4 = -2\]

Итак, производная функции \(f(x)=2x+\cot(x)\) в точке \(x_0=\frac{\pi}{6}\) равна \(-2\).