Чему равна высота прямоугольного треугольника, проведённого к гипотенузе, если стороны треугольника относятся как 3:4:5

Vodopad

6

Чтобы решить эту задачу, давайте использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть она составит гипотезу треугольника, а основание будет катетом, а высота — другим катетом. Так как уже известно, что стороны треугольника относятся как 3:4:5, допустим, что длина основания равна 3х, а длина гипотенузы равна 5х (х — некоторое положительное число).

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления высоты треугольника, проведённой к гипотенузе: \( H = \frac{{a \cdot b}}{{c}} \), где H — высота, a и b — длины катетов, c — длина гипотенузы.

Используя данную формулу и значение высоты, получаем:

\[ 24 = \frac{{3x \cdot 4x}}{{5x}} \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ 24 = \frac{{12x^2}}{{5x}} \]

Дальше, упростим данное выражение, сокращая на x:

\[ 24 = \frac{{12x}}{{5}} \]

Теперь, чтобы найти значение x, нужно перемножить обе стороны уравнения на 5 и разделить на 12:

\[ x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}} = 10 \]

Таким образом, мы получили, что значение x равно 10. Теперь, чтобы найти высоту треугольника, мы можем подставить это значение обратно в одно из соотношений сторон:

\[ H = 3x = 3 \cdot 10 = 30 \]

Высота треугольника равна 30 см.

Чтобы найти периметр треугольника, нужно просуммировать длины всех его сторон. Зная, что стороны треугольника относятся как 3:4:5, можно найти их длины:

Основание: 3х = 3 \cdot 10 = 30 см,
Катет: 4х = 4 \cdot 10 = 40 см,
Гипотенуза: 5х = 5 \cdot 10 = 50 см.

Просуммируем длины сторон:

Периметр = Основание + катет + гипотенуза = 30 см + 40 см + 50 см = 120 см.

Таким образом, периметр треугольника равен 120 см.

Наконец, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{{a \cdot b}}{2} \), где S — площадь, a и b — длины катетов.

Подставив значения длин катетов, получаем:

\[ S = \frac{{3 \cdot 4}}{2} = 6 \]

Таким образом, площадь этого треугольника равна 6 квадратным сантиметрам.