Чему равно выражение k²/k²-4km : k/k²-16m при k = 3+4√7?

Zvezdnaya_Galaktika

41

Давайте рассмотрим заданное выражение и найдем его значение при заданном значении переменной k.

Выражение, которое нам дано:
\(\frac{k^2}{k^2 - 4km} : \frac{k}{k^2 - 16m}\)

Для начала, давайте выразим значение переменной k, используя данное уравнение: k = 3 + 4√7

Теперь заменим k в исходном выражении на это значение:

\(\frac{(3 + 4√7)^2}{(3 + 4√7)^2 - 4(3 + 4√7)m} : \frac{3 + 4√7}{(3 + 4√7)^2 - 16m}\)

Далее проведем несколько алгебраических действий, чтобы упростить это выражение и получить окончательный ответ.

1. Начнем с раскрытия скобок в числителе и знаменателе:

\(\frac{(3 + 4√7)(3 + 4√7)}{(3 + 4√7)(3 + 4√7) - 4(3 + 4√7)m} : \frac{3 + 4√7}{(3 + 4√7)(3 + 4√7) - 16m}\)

2. Далее, раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{9 + 24√7 + 16(√7)^2}{9 + 24√7 + 16(√7)^2 - 12m - 16√7m} : \frac{3 + 4√7}{9 + 24√7 + 16(√7)^2 - 16m}\)

3. Упростим числитель и знаменатель, выделив общие множители:

\(\frac{9 + 24√7 + 16(7)}{9 + 24√7 + 16(7) - 12m - 16√7m} : \frac{3 + 4√7}{9 + 24√7 + 16(7) - 16m}\)

\(\frac{9 + 24√7 + 112}{9 + 24√7 + 112 - 12m - 16√7m} : \frac{3 + 4√7}{9 + 24√7 + 112 - 16m}\)

4. Упрощаем дроби, деля числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель:

\(\frac{8 + 24√7}{8 + 24√7 - 12m - 16√7m} : \frac{3 + 4√7}{8 + 24√7 - 16m}\)

5. Теперь перевернем и умножим дроби следующим образом:

\(\frac{8 + 24√7}{8 + 24√7 - 12m - 16√7m} \cdot \frac{8 + 24√7 - 16m}{3 + 4√7}\)

6. Умножим числители и знаменатели:

\(\frac{(8 + 24√7)(8 + 24√7 - 16m)}{(8 + 24√7 - 12m - 16√7m)(3 + 4√7)}\)

7. Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{64 + 192√7 - 128m + 192√7 + 576(√7)^2 - 384√7m - 128m + 384m(√7) - 256(√7)^2}{24 + 32√7 - 36m + 48√7 - 48m - 64√7m + 9 + 12√7}\)

\(\frac{640 + 128√7 - 256m + 576(7) - 384√7m + 384m(√7) - 256(7)}{33 + 80√7 - 52m - 64√7m}\)

\(\frac{640 + 128√7 - 256m + 4032 - 384√7m + 384m(√7) - 1792}{33 + 80√7 - 52m - 64√7m}\)

\(\frac{3872 + 128√7 - 640m - 384√7m + 384m(√7)}{33 + 80√7 - 52m - 64√7m}\)

Таким образом, мы получили окончательный ответ, для выражения
\(\frac{k^2}{k^2 - 4km} : \frac{k}{k^2 - 16m}\)
при \(k = 3 + 4√7\) равен \(\frac{3872 + 128√7 - 640m - 384√7m + 384m(√7)}{33 + 80√7 - 52m - 64√7m}\).