Что является областью определения функции y=√(12-x^2-x)/√?

Ярило

32

Чтобы найти область определения функции \(y = \sqrt{\frac{12-x^2-x}{\sqrt{x}}}\), нужно учесть два ограничения:

1. Ограничение корня: исходя из того, что корень извлекается из дроби \(\frac{12-x^2-x}{\sqrt{x}}\), требуется, чтобы дробь была неотрицательной (так как нельзя извлекать корень из отрицательного числа или нуля).
Для этого нам нужно рассмотреть два случая:
а) Знаменатель \(\sqrt{x}\) положительный: чтобы корень был определён, число под корнем \(12-x^2-x\) также должно быть неотрицательным. Следовательно, нам нужно решить неравенство \(12-x^2-x \geq 0\).
б) Знаменатель \(\sqrt{x}\) равен нулю: так как корень невозможно извлечь из нуля, мы должны исключить эту точку из области определения функции.

2. Ограничение деления на ноль: знаменатель \(\sqrt{x}\) не может быть равен нулю, так как делить на ноль невозможно.

Давайте решим это по шагам.

Шаг 1: Решение неравенства \(12-x^2-x \geq 0\)

Определим область значений, где левая часть неравенства меньше нуля:
\[12-x^2-x < 0\]

Как уже было сказано, мы исключаем точку, где знаменатель равен нулю (\(x = 0\)), поэтому можем переписать неравенство в виде:
\[12-x^2-x \geq 0, \quad x \neq 0\]

Для решения данного неравенства нам нужно найти корни квадратного трехчлена:
\[f(x) = 12 - x^2 - x\]

1. Найдем корни уравнения \(f(x) = 0\):
\[12 - x^2 - x = 0\]
\[x^2 + x - 12 = 0\]

Факторизуем данное квадратное уравнение:
\((x+4)(x-3) = 0\)

Из этого следует, что \(x = -4\) или \(x = 3\).

2. Строим знаки функции \(f(x)\) на основе найденных корней:

\[
\begin{array}{cccccc}
& -\infty & \quad & -4 & \quad & 3 & \quad & +\infty \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccc}
& + & \quad & - & \quad & + & \quad & - \\
\end{array}
\]

Учитывая знаки функции, определяем, где \(f(x)\) положительна или равна нулю:
\[
f(x) \geq 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty, -4] \cup [3, +\infty)
\]

Теперь мы видим, что левая часть исходного неравенства \((12-x^2-x)\) неотрицательная, когда \(x \in (-\infty, -4] \cup [3, +\infty)\).

Шаг 2: Определение области определения функции

Кратко, область определения функции \(y = \sqrt{\frac{12-x^2-x}{\sqrt{x}}}\) является множеством значений переменной \(x\), удовлетворяющих обоим ограничениям:

\[
x \in (-\infty, -4] \cup [3, +\infty) \quad \text{и} \quad x \neq 0
\]

Таким образом, область определения функции будет:
\[
D = (-\infty, -4] \cup (0, 3] \cup (3, +\infty)
\]

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как найти область определения функции \(y = \sqrt{\frac{12-x^2-x}{\sqrt{x}}}\). Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.