DABC is a triangular pyramid. Points K and M are the midpoints of the edges AB and BC, respectively. Identify a vector

Вечный_Мороз

66

Конечно! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Начнем с пункта a) 2VK.

Для нахождения вектора VK (отрезок, соединяющий вершины V и K) нам необходимо знать координаты этих двух точек. Поскольку нам дана пирамида DABC, мы должны сначала определить координаты вершин.

Допустим, у нас есть точки D (x₁, y₁, z₁), A (x₂, y₂, z₂), B (x₃, y₃, z₃) и C (x₄, y₄, z₄).

Зная, что K и M являются серединами отрезков AB и BC соответственно, мы можем использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Для точки K это будет:

xₖ = (x₂ + x₃) / 2
yₖ = (y₂ + y₃) / 2
zₖ = (z₂ + z₃) / 2

Теперь мы можем найти вектор VK, используя координаты вершин V (x₅, y₅, z₅) и K:

\[VK = \begin{pmatrix} xₖ - x₅ \\ yₖ - y₅ \\ zₖ - z₅ \end{pmatrix}\]

Теперь перейдем к пункту b) AD + DB.

Вектор AD (отрезок, соединяющий вершины A и D) может быть найден с использованием следующей формулы:

\[AD = \begin{pmatrix} x₂ - x₁ \\ y₂ - y₁ \\ z₂ - z₁ \end{pmatrix}\]

Аналогично, вектор DB (отрезок, соединяющий вершины D и B) может быть найден с использованием формулы:

\[DB = \begin{pmatrix} x₃ - x₁ \\ y₃ - y₁ \\ z₃ - z₁ \end{pmatrix}\]

Теперь мы можем сложить векторы AD и DB:

\[AD + DB = \begin{pmatrix} x₂ - x₁ \\ y₂ - y₁ \\ z₂ - z₁ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x₃ - x₁ \\ y₃ - y₁ \\ z₃ - z₁ \end{pmatrix}\]

Далее перейдем к пункту c) AC - AK.

Аналогично, чтобы найти вектор AC (отрезок, соединяющий вершины A и C), мы используем следующую формулу:

\[AC = \begin{pmatrix} x₄ - x₂ \\ y₄ - y₂ \\ z₄ - z₂ \end{pmatrix}\]

А вектор AK (отрезок, соединяющий вершины A и K) будет выглядеть так:

\[AK = \begin{pmatrix} xₖ - x₂ \\ yₖ - y₂ \\ zₖ - z₂ \end{pmatrix}\]

Теперь мы можем вычесть вектор AK из вектора AC:

\[AC - AK = \begin{pmatrix} x₄ - x₂ \\ y₄ - y₂ \\ z₄ - z₂ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} xₖ - x₂ \\ yₖ - y₂ \\ zₖ - z₂ \end{pmatrix}\]

Перейдем к пункту d) 1/2VC + MD + DA.

Наконец, нам нужно найти вектор VC (отрезок, соединяющий вершину V и центр основания пирамиды C) и вектор MD (отрезок, соединяющий вершину M с D).

Вектор VC может быть найден с использованием следующей формулы:

\[VC = \begin{pmatrix} x₅ - x₄ \\ y₅ - y₄ \\ z₅ - z₄ \end{pmatrix}\]

А вектор MD будет:

\[MD = \begin{pmatrix} x₃ - x₁ \\ y₃ - y₁ \\ z₃ - z₁ \end{pmatrix}\]

Теперь мы можем вычислить выражение 1/2VC + MD + DA:

\[1/2VC + MD + DA = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} x₅ - x₄ \\ y₅ - y₄ \\ z₅ - z₄ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x₃ - x₁ \\ y₃ - y₁ \\ z₃ - z₁ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x₂ - x₁ \\ y₂ - y₁ \\ z₂ - z₁ \end{pmatrix}\]

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса о кубе ABCDA1B1C1D1.

Для пункта 1) AB1, AD и B1D.

Аналогично предыдущим рассуждениям, вектор AB1 будет иметь вид:

\[AB1 = \begin{pmatrix} x₁ - x₆ \\ y₁ - y₆ \\ z₁ - z₆ \end{pmatrix}\]

Вектор AD у нас уже имеется из предыдущих рассуждений, и вектор B1D:

\[B1D = \begin{pmatrix} x₇ - x₆ \\ y₇ - y₆ \\ z₇ - z₆ \end{pmatrix}\]

Чтобы определить, являются ли эти векторы коллинеарными, мы смотрим, есть ли такие числа \(k_1\) и \(k_2\), такие что:

\[AB1 = k_1 \cdot AD + k_2 \cdot B1D\]

Если такие числа существуют, то векторы коллинеарны.

Аналогично, для пункта 2) вы можете использовать аналогичную логику для определения коллинеарности векторов AB1, AD и B1D.

Это подробное решение должно помочь вам разобраться в поставленной задаче и получить полное понимание решений векторных уравнений и коллинеарности векторов. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!