Дана точка K с координатами (-3, -3). Найдите координаты точек P и M, таких что PM = 6 и KR = 3KM. Ответ: Запишите

Турандот

60

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход. Для начала, найдем координаты точки P. Используя условие PM = 6, мы можем сделать вывод, что точка P находится на окружности с центром в точке K и радиусом 6.

Чтобы найти координаты точки P, нам необходимо найти точку на окружности с радиусом 6, которая лежит на одной прямой с точкой K и точкой M. Для этого нам понадобится наличие информации о координатах точки M.

Так как условие задачи говорит, что KR = 3KM, мы можем использовать это, чтобы найти координаты точки M. Расстояние KR является 3-кратным относительно расстояния KM, поэтому можно сказать, что точка M находится на отрезке KM, разделенном в отношении 3:1.

Итак, давайте найдем точку M. Расстояние между точками K и M составляет 1 часть от всего расстояния KM, а расстояние между точками K и R составляет 3 части от всего расстояния KM. Для удобства, представим вектор KM как вектор AB. Тогда вектор AM будет равен трети вектора AB.

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Найдем координаты точек P и M.

Давайте начнем с точки M. Пользуясь информацией о расстоянии между точками K и M, мы можем выразить это как векторное уравнение:

\[\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB}\]

Теперь выразим вектор AB через координаты точек K и M:

\[\vec{AB} = \vec{BM} + \vec{AM} = \vec{BM} + \frac{1}{3} \vec{AB}\]

Перенесем \(\frac{1}{3} \vec{AB}\) налево:

\[\frac{2}{3} \vec{AB} = \vec{BM}\]

Теперь заменим вектор AB на координаты точек B и A:

\[\frac{2}{3} (x_A - x_B, y_A - y_B) = (x_M - x_B, y_M - y_B)\]

Знаем, что координаты точки K равны (-3, -3). Поместим координаты точки K в уравнение, получим:

\[\frac{2}{3} (x_A + 3, y_A + 3) = (x_M + 3, y_M + 3)\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее координаты точек M и A. Найдем координаты точки M.

Раскроем скобки:

\[\frac{2}{3} x_A + 2 = x_M + 3\]
\[\frac{2}{3} y_A + 2 = y_M + 3\]

Теперь выразим x_M и y_M:

\[x_M = \frac{2}{3} x_A + 1 \quad \text{[1]}\]
\[y_M = \frac{2}{3} y_A + 1 \quad \text{[2]}\]

Таким образом, мы получили координаты точки M в зависимости от координат точки A.

Теперь найдем координаты точки P. Мы знаем, что точка P находится на окружности с центром в точке K и радиусом 6. Мы также знаем, что точка P лежит на прямой, проходящей через точку K и точку M.

Используя это, мы можем сказать, что вектор PM является линейной комбинацией векторов KM и KP:

\[\vec{KP} = \alpha \vec{KM} + \beta \vec{KB}\]

Для удобства, представим вектор PM как вектор CD. Тогда вектор CP будет равен вектору CD минус вектору PD:

\[\vec{CP} = \vec{CD} - \vec{DP}\]

Используя данное условие PM = 6, можем сказать, что вектор PM равен произведению 6 на нормализованный вектор KM:

\[\vec{PM} = 6 \cdot \frac{\vec{KM}}{\|\vec{KM}\|}\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Найдем координаты точек P и M.

Воспользуемся найденными ранее координатами точки M (нашим уравнением [1] и [2]) и найдем вектор KM:

\[\vec{KM} = (x_P - x_M, y_P - y_M)\]

Теперь найдем нормализованный вектор KM:

\[\|\vec{KM}\| = \sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2}\]

Используя условие PM = 6, выразим вектор PM через найденные ранее величины:

\[\vec{PM} = 6 \cdot \frac{\vec{KM}}{\|\vec{KM}\|}\]

Теперь выразим вектор CD через найденные ранее величины:

\[\vec{CD} = \vec{PM} + \vec{DP}\]

У нас есть уравнение, связывающее координаты точек P и D:

\[(x_P - x_D, y_P - y_D) = 6 \cdot \frac{(x_P - x_M, y_P - y_M)}{\sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2}} + \alpha \cdot (x_P + 3, y_P + 3)\]

Теперь раскроем скобки:

\[x_P - x_D = 6 \cdot \frac{x_P - x_M}{\sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2}} + \alpha \cdot (x_P + 3)\]
\[y_P - y_D = 6 \cdot \frac{y_P - y_M}{\sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2}} + \alpha \cdot (y_P + 3)\]

Таким образом, у нас есть два уравнения, в которых присутствуют неизвестные координаты точки P и D. Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти искомые координаты.

Однако, в данном случае мы видим, что задача не полностью определена. Нам необходимо знать значение коэффициента \(\alpha\) или другой дополнительный факт, чтобы найти конкретные значения координат точек P и M. Без этой информации, мы можем только записать уравнение в общем виде:

1. P\((\frac{6}{7} \cdot x_M + \frac{1}{7} \cdot x_D, \frac{6}{7} \cdot y_M + \frac{1}{7} \cdot y_D)\) и M\((x_M, y_M)\)
2. P\((\frac{6}{7} \cdot x_M + \frac{1}{7} \cdot x_D, \frac{6}{7} \cdot y_M + \frac{1}{7} \cdot y_D)\) и M\((x_D + 3, y_D + 3)\)
3. P\((x_D, y_D)\) и M\((x_M, y_M)\)
4. P\((x_D, y_D)\) и M\((x_D + 3, y_D + 3)\)