Для треугольника ABC, образованного двумя прямоугольными треугольниками ABD и BCD с суммой длин всех катетов

Солнечный_День

52

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать свойства прямоугольных треугольников и формулу площади треугольника.

1. Построим треугольник ABC, где AB и BC являются катетами, а AC - гипотенузой прямоугольных треугольников ABD и BCD.

2. Обозначим длину катета AB через x, а длину катета BC через (45 - x), так как сумма длин всех катетов равна 45 см.

3. Высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на гипотенузу AC, будем обозначать через h.

4. Зная, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, для треугольника ABC это можно записать как:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_{ABC}$$

5. Поскольку треугольник ABC состоит из двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, его площадь можно выразить как сумму площадей этих двух треугольников:

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{BCD}$$

6. Площадь прямоугольного треугольника также можно выразить через длины его катетов:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD;$$ $$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD$$

7. Зная, что сумма площадей треугольников ABD и BCD должна быть не меньше 126 квадратных сантиметров, получаем уравнение:

$$\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD\ge 126$$

8. Подставив значения для AB (x) и BC (45 - x), получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot x\cdot BD+\frac{1}{2}\cdot (45-x)\cdot BD\ge 126$$

9. Упростим это неравенство:

$$\frac{1}{2}\cdot BD\cdot (x+45-x)\ge 126$$

$$\frac{1}{2}\cdot BD\cdot 45\ge 126$$

10. Домножим обе части неравенства на 2 и перенесем все значения на одну сторону:

$$BD\cdot 45-252\ge 0$$

11. Упростим выражение:

$$45\cdot BD\ge 252$$

12. Наконец, разделим обе части неравенства на 45:

$$BD\ge \frac{252}{45}$$
$$BD\ge 5.6$$

Таким образом, для того чтобы площадь треугольника ABC была не меньше 126 квадратных сантиметров, длина высоты BD должна быть не меньше 5.6 сантиметров.