Для треугольника ABC, образованного двумя прямоугольными треугольниками ABD и BCD с суммой длин всех катетов

Солнечный_День

52

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать свойства прямоугольных треугольников и формулу площади треугольника.

1. Построим треугольник ABC, где AB и BC являются катетами, а AC - гипотенузой прямоугольных треугольников ABD и BCD.

2. Обозначим длину катета AB через x, а длину катета BC через (45 - x), так как сумма длин всех катетов равна 45 см.

3. Высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на гипотенузу AC, будем обозначать через h.

4. Зная, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, для треугольника ABC это можно записать как:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{ABC}\]

5. Поскольку треугольник ABC состоит из двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, его площадь можно выразить как сумму площадей этих двух треугольников:

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD}\]

6. Площадь прямоугольного треугольника также можно выразить через длины его катетов:

\[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD;\] \[S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD\]

7. Зная, что сумма площадей треугольников ABD и BCD должна быть не меньше 126 квадратных сантиметров, получаем уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \geq 126\]

8. Подставив значения для AB (x) и BC (45 - x), получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot x \cdot BD + \frac{1}{2} \cdot (45 - x) \cdot BD \geq 126\]

9. Упростим это неравенство:

\[\frac{1}{2} \cdot BD \cdot (x + 45 - x) \geq 126\]

\[\frac{1}{2} \cdot BD \cdot 45 \geq 126\]

10. Домножим обе части неравенства на 2 и перенесем все значения на одну сторону:

\[BD \cdot 45 - 252 \geq 0\]

11. Упростим выражение:

\[45 \cdot BD \geq 252\]

12. Наконец, разделим обе части неравенства на 45:

\[BD \geq \frac{252}{45}\]
\[BD \geq 5.6\]

Таким образом, для того чтобы площадь треугольника ABC была не меньше 126 квадратных сантиметров, длина высоты BD должна быть не меньше 5.6 сантиметров.