Does the equation cos4x/3+sin^23x/2+2sin^25x/4-cos^23x/2=0 hold true?

Yarilo

33

Хорошо, рассмотрим данное уравнение:

\(\frac{{\cos^4(x/3)+\sin^2(3x/2) + 2\sin^2(5x/4) - \cos^2(3x/2)}}{{2}} = 0\)

Для начала, мы можем заметить, что в данном уравнении присутствуют функции синуса и косинуса, а также степени. Чтобы решить это уравнение, нам нужно применить некоторые тригонометрические тождества и математические преобразования.

Давайте посмотрим на каждый член уравнения по отдельности.

1) \(\cos^4(x/3)\): Мы можем преобразовать этот член с помощью тригонометрической формулы: \(\cos^2(x/3) = \frac{{1+\cos(2x/3)}}{{2}}\). Затем, возведем это в квадрат еще раз: \((\cos^2(x/3))^2 = \left(\frac{{1+\cos(2x/3)}}{{2}}\right)^2\). Теперь у нас есть выражение, которое можно упростить дальше, но давайте пока оставим его таким.

2) \(\sin^2(3x/2)\): Мы также можем преобразовать этот член с помощью тригонометрической формулы: \(\sin^2(t) = \frac{{1-\cos(2t)}}{{2}}\), где \(t\) - это \(3x/2\). Подставив это значение, получим: \(\sin^2(3x/2) = \frac{{1-\cos(3x)}}{{2}}\).

3) \(\sin^2(5x/4)\): По аналогии с предыдущим примером, мы можем преобразовать этот член с помощью тригонометрической формулы: \(\sin^2(t) = \frac{{1-\cos(2t)}}{{2}}\), где \(t\) - это \(5x/4\). Подставив это значение, получим: \(\sin^2(5x/4) = \frac{{1-\cos(5x/2)}}{{2}}\).

4) \(\cos^2(3x/2)\): По аналогии с предыдущим примером, мы можем преобразовать этот член с помощью тригонометрической формулы: \(\cos^2(t) = \frac{{1+\cos(2t)}}{{2}}\), где \(t\) - это \(3x/2\). Подставив это значение, получим: \(\cos^2(3x/2) = \frac{{1+\cos(3x)}}{{2}}\).

Теперь, когда у нас есть преобразованные выражения для каждого члена уравнения, подставим их обратно в исходное уравнение:

\[
\frac{{\frac{{1+\cos(2x/3)}}{{2}} + \frac{{1-\cos(3x)}}{{2}} + 2\frac{{1-\cos(5x/2)}}{{2}} - \frac{{1+\cos(3x)}}{{2}}}}{2} = 0
\]

Далее проведем упрощение выражения:

\[
\frac{{\left(1+\cos\left(\frac{{2x}}{{3}}\right)\right) + \left(1-\cos(3x)\right) + 2\left(1-\cos\left(\frac{{5x}}{{2}}\right)\right) - \left(1+\cos(3x)\right)}}{2} = 0
\]

\[
\frac{{1+\cos\left(\frac{{2x}}{{3}}\right) + 1-\cos(3x) + 2-2\cos\left(\frac{{5x}}{{2}}\right) - 1-\cos(3x)}}{2} = 0
\]

\[
\frac{{-2\cos\left(\frac{{5x}}{{2}}\right) + 2\cos\left(\frac{{2x}}{{3}}\right)}}{2} = 0
\]

После упрощения мы получили:

\[
\cos\left(\frac{{2x}}{{3}}\right) - \cos\left(\frac{{5x}}{{2}}\right) = 0
\]

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только функции косинуса. Мы можем применить тригонометрическое тождество: \(\cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{{a+b}}{{2}}\right)\sin\left(\frac{{a-b}}{{2}}\right)\), чтобы дальше упростить уравнение:

\[
-2\sin\left(\frac{{\frac{{2x}}{{3}} + \frac{{5x}}{{2}}}}{{2}}\right)\sin\left(\frac{{\frac{{2x}}{{3}} - \frac{{5x}}{{2}}}}{{2}}\right) = 0
\]

\[
-2\sin\left(\frac{{4x+15x}}{{12}}\right)\sin\left(\frac{{4x-15x}}{{12}}\right) = 0
\]

\[
-2\sin\left(\frac{{19x}}{{12}}\right)\sin\left(\frac{{-11x}}{{12}}\right) = 0
\]

Теперь мы имеем произведение двух синусов, равное нулю. Когда произведение равно нулю, хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю:

1) \(\sin\left(\frac{{19x}}{{12}}\right) = 0\)

2) \(\sin\left(\frac{{-11x}}{{12}}\right) = 0\)

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Когда \(\sin\left(\frac{{19x}}{{12}}\right) = 0\), мы можем установить углы, соответствующие этому значению синуса. Один из таких углов является нулем: \(\frac{{19x}}{{12}} = 0\).

Решая это уравнение, мы получаем \(x = 0\).

2) Когда \(\sin\left(\frac{{-11x}}{{12}}\right) = 0\), мы также можем установить углы, соответствующие этому значению синуса. Еще один такой угол является нулем: \(\frac{{-11x}}{{12}} = 0\).

Решая это уравнение, мы получаем \(x = 0\).

Итак, уравнение \(\frac{{\cos^4(x/3)+\sin^2(3x/2) + 2\sin^2(5x/4) - \cos^2(3x/2)}}{{2}} = 0\) верно, когда \(x = 0\).

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.