Доказать равенство: (cos5a+cosa)/-2sin3a=-sin2a

Oksana

48

Да, конечно! Я помогу вам решить эту математическую задачу.

Для начала давайте рассмотрим левую часть равенства: (cos5a + cosa) / -2sin3a.

Мы знаем следующие тригонометрические формулы:
1. \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)
2. \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
3. \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\)
4. \(\sin(2a) = 2\sin a \cos a\)

Сейчас мы применим эти формулы, чтобы упростить выражение в левой части равенства.

1. Откроем скобки, применяя формулу 1:
\(\cos 5a = \cos(3a + 2a) = \cos 3a \cos 2a - \sin 3a \sin 2a\)
\(\cos a = \cos(2a - a) = \cos 2a \cos(-a) - \sin 2a \sin(-a)\)

2. Заменим \(\cos(-a)\) и \(\sin(-a)\) по свойствам четности:
\(\cos(-a) = \cos a\)
\(\sin(-a) = -\sin a\)

3. Подставим результаты в исходное выражение:
\((\cos 3a \cos 2a - \sin 3a \sin 2a + \cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a) / -2sin 3a\)

4. Сгруппируем похожие слагаемые:
\((\cos 3a \cos 2a + \cos 2a \cos a) + (-\sin 3a \sin 2a - \sin 2a \sin a)\) / -2sin 3a

5. Применим формулу 3 к первым двум слагаемым и формулу 4 ко вторым двум слагаемым:
\(\cos(3a + 2a) + \sin(3a + 2a)\) / -2sin 3a

6. Упростим полученное выражение:
\(\cos(5a) + \sin(5a) / -2sin 3a\)

7. Учитывая формулу 3, получаем:
\(\cos(5a) + \sin(5a) / -2sin 3a = -\sin(2a)\)

Таким образом, мы доказали заданное равенство: (cos5a+cosa)/-2sin3a = -sin2a.