Докажите, что последовательность an= frac{2n+9}{n+3}, где an - n-й член последовательности, является убывающей

Стрекоза_3578

2

Чтобы доказать, что последовательность \(a_n = \frac{2n+9}{n+3}\) является убывающей, мы можем использовать подход, основанный на анализе разности между соседними членами последовательности.

Для этого нам необходимо сравнить два соседних члена \(a_n\) и \(a_{n+1}\) и проверить, что \(a_n > a_{n+1}\) для всех значениях \(n\).

Давайте выразим \(a_n\) и \(a_{n+1}\) по заданному определению последовательности:

\[a_n = \frac{2n+9}{n+3} \quad \text{и} \quad a_{n+1} = \frac{2(n+1)+9}{(n+1)+3}\]

Теперь мы можем сравнить эти два члена:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{2n+9}{n+3} - \frac{2(n+1)+9}{(n+1)+3}\]

Для удобства вычислений раскроем скобки:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{2n+9}{n+3} - \frac{2n+2+9}{n+4}\]

Следующим шагом объединим дроби в одну:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{(2n+9)(n+4) - (2n+11)(n+3)}{(n+3)(n+4)}\]

Теперь упростим полученное выражение:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{2n^2 + 8n + 9n + 36 - (2n^2 + 6n + 11n + 33)}{(n+3)(n+4)}\]

Дальнейшее упрощение даст нам:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{2n^2 + 17n + 36 - (2n^2 + 17n + 33)}{(n+3)(n+4)}\]

Из этого следует:

\[a_n - a_{n+1} = \frac{3}{(n+3)(n+4)}\]

Теперь давайте рассмотрим знак разности \(a_n - a_{n+1}\). Мы замечаем, что числитель положительный, а знаменатель положительный для каждого значения \(n\), так как при \(n > 0\) числа \(n+3\) и \(n+4\) всегда положительны.

Таким образом, мы можем заключить, что последовательность \(a_n\) является убывающей, так как \(a_n - a_{n+1} > 0\) для любого значения \(n\).

Это доказывает, что последовательность \(a_n = \frac{2n+9}{n+3}\) является убывающей.