Если n четное, то следует ли из неравенства x₁^n > x₂^n, что x₁ > x₂? В случае, если n нечетное?

Баська

37

Для решения данной задачи, нам нужно рассмотреть два случая: когда \(n\) четное и когда \(n\) нечетное.

Первый случай: \(n\) четное.
Если \(n\) четное, то мы можем возвести обе стороны неравенства \({x_1}^n > {x_2}^n\) в степень \(\frac{1}{n}\), чтобы избавиться от степени.

\(({x_1}^n)^{\frac{1}{n}} > ({x_2}^n)^{\frac{1}{n}}\)

Так как \(({x_1}^n)^{\frac{1}{n}}\) и \(({x_2}^n)^{\frac{1}{n}}\) являются положительными числами, мы можем применить следующее свойство степени: для положительных чисел \(a\) и \(b\), если \(a > b\), то \(a^k > b^k\) для любого положительного числа \(k\).

Применяя это свойство к нашему неравенству, мы получаем:

\(x_1 > x_2\)

Таким образом, если \(n\) четное, то из неравенства \({x_1}^n > {x_2}^n\) следует, что \(x_1 > x_2\).

Второй случай: \(n\) нечетное.
Когда \(n\) нечетное, мы не можем применить тот же самый метод, что в предыдущем случае. Рассмотрим контрпример:

Пусть \(n = 1\), а \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\). В данном случае неравенство \({x_1}^n = (-1)^1 = -1\) и \({x_2}^n = 2^1 = 2\) верно, но \(x_1 = -1 < x_2 = 2\).

Таким образом, мы не можем сделать вывод, что из неравенства \({x_1}^n > {x_2}^n\) следует, что \(x_1 > x_2\), когда \(n\) нечетное.

В итоге, мы можем сделать вывод, что если \(n\) четное, то из неравенства \({x_1}^n > {x_2}^n\) следует, что \(x_1 > x_2\), но если \(n\) нечетное, то мы не можем сделать такого вывода.