Find the solution to the inequality f(x) < 0, where f(x) = 1/5x^5 - 5/3x^3

Lunnyy_Renegat

1

Хорошо, давайте решим данное неравенство подробно и пошагово.

Нам дана функция \(f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3\) и мы должны найти значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству \(f(x) < 0\).

Для начала, мы можем найти корни функции \(f(x)\), то есть значения \(x\), которые делают \(f(x) = 0\). Чтобы найти корни, мы должны приравнять \(f(x)\) к 0 и решить полученное уравнение:

\[\frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 = 0\]

Мы можем факторизовать это уравнение таким образом:

\[x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{5}{3}) = 0\]

Это означает, что либо \(x^3 = 0\), либо \(\frac{1}{5}x^2 - \frac{5}{3} = 0\).

Первое уравнение \(x^3 = 0\) имеет единственное решение: \(x = 0\).

Второе уравнение \(\frac{1}{5}x^2 - \frac{5}{3} = 0\) можно решить при помощи алгебраических операций:

\[\frac{1}{5}x^2 = \frac{5}{3}\]
\[x^2 = \frac{5}{3} \cdot 5\]
\[x^2 = \frac{25}{3}\]

Чтобы найти \(x\), возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}\]

Таким образом, мы нашли корни функции \(f(x)\): \(x = 0\) и \(x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}\).

Теперь мы можем найти интервалы, на которых функция \(f(x)\) положительна и отрицательна. Чтобы это сделать, выберем произвольные значения в каждом из этих интервалов и проверим, что значение функции \(f(x)\) действительно соответствует неравенству \(f(x) < 0\).

Заметим, что при \(x < -\sqrt{\frac{25}{3}}\) все слагаемые функции \(f(x)\) будут отрицательными, так как \(x^3\) будет отрицательным (так как \(x\) отрицательно) и \(\frac{1}{5}x^2\) тоже будет отрицательным. Поэтому, на этом интервале \(f(x) < 0\).

Также, заметим, что при \(-\sqrt{\frac{25}{3}} < x < 0\) первое слагаемое функции \(f(x)\) становится положительным, так как \(x^3\) отрицательно, а \(\frac{1}{5}x^2\) положительно (так как \(x\) отрицательно). Тем не менее, сочетание этих слагаемых всё равно даёт отрицательное значение функции \(f(x)\). Поэтому, и на этом интервале \(f(x) < 0\).

Наконец, при \(x > 0\) первое слагаемое функции \(f(x)\) положительное, а второе слагаемое может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому, на этом интервале мы не можем точно сказать, каково знаковое значение функции \(f(x)\).

Таким образом, решение данного неравенства \(f(x) < 0\) — все значения \(x\), которые находятся в интервалах \(-\infty < x < -\sqrt{\frac{25}{3}}\) и \(-\sqrt{\frac{25}{3}} < x < 0\).