Is it possible to rewrite the expression cos4x/3 + sin^23x/2 + 2sin^25x/4 - cos^23x/2=0 in a different form while

Miroslav

6

Конечно! Чтобы переписать данное уравнение в другой форме, сохраняя его значение, нам потребуется использовать тригонометрические идентичности. Давайте рассмотрим каждое слагаемое по очереди и приведем его к другому виду.

1. Начнем с первого слагаемого: \(\cos^4(x/3)\).
Мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\).

Применим эту формулу и заменим \(\cos^4(x/3)\):
\[
\cos^4(x/3) = \left(\frac{1}{2}\cos(2x/3) + \frac{1}{2}\right)^2
\]

2. Теперь обратимся ко второму слагаемому: \(\sin^2(3x/2)\).
Воспользуемся тригонометрической формулой половинного угла для синуса:
\(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\).

Заменим \(\sin^2(3x/2)\):
\[
\sin^2(3x/2) = \frac{1 - \cos(3x)}{2}
\]

3. Перейдем к третьему слагаемому: \(\sin^2(5x/4)\).
Воспользуемся снова тригонометрической формулой половинного угла для синуса:
\(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\).

Заменим \(\sin^2(5x/4)\):
\[
\sin^2(5x/4) = \frac{1 - \cos(5x/2)}{2}
\]

4. И наконец, рассмотрим последнее слагаемое: \(\cos^2(3x/2)\).
Воспользуемся тригонометрической формулой половинного угла для косинуса:
\(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\).

Заменим \(\cos^2(3x/2)\):
\[
\cos^2(3x/2) = \frac{1 + \cos(3x)}{2}
\]

Теперь, соберем все замены вместе и перепишем исходное уравнение:
\[
\left(\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1 - \cos(3x)}{2} + \frac{1 - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)}{2} - \frac{1 + \cos(3x)}{2} = 0
\]

Упростим уравнение:
\[
\frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{2x}{3}\right) + \frac{1}{2} - \frac{\cos(3x)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\cos\left(\frac{5x}{2}\right)}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\cos(3x)}{2} = 0
\]

Приведем подобные:
\[
\frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{2x}{3}\right) - \cos(3x) - \frac{\cos\left(\frac{5x}{2}\right)}{2} = 0
\]

Таким образом, мы переписали исходное уравнение в другой форме, используя тригонометрические идентичности.