Как изменить неравенство log2x(0,25)< =log2(32x)-1, чтобы получить новое неравенство с тем же значением и объемом?

Примула

54

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте приведем левую часть неравенства к более простому виду. У нас имеется неравенство \(\log_2(x \cdot 0,25) \leq \log_2(32x) - 1\).

Помним, что \(\log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c)\). Применяя это свойство, можем переписать левую часть неравенства следующим образом:

\(\log_2(x \cdot 0,25) = \log_2(x) + \log_2(0,25)\)

2. Теперь, перепишем неравенство, заменив левую часть полученным выражением из предыдущего шага:

\(\log_2(x) + \log_2(0,25) \leq \log_2(32x) - 1\)

3. Чтобы получить новое неравенство с тем же значением и объемом, перенесем все члены в одну сторону. Для этого вычтем \(\log_2(0,25)\) из обеих частей неравенства:

\(\log_2(x) + \log_2(0,25) - \log_2(0,25) \leq \log_2(32x) - \log_2(0,25) - 1\)

\(\log_2(x) \leq \log_2(32x) - \log_2(0,25) - 1\)

4. Теперь, рассмотрим правую часть неравенства. Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения выражения.

\(\log_2(32x) - \log_2(0,25) - 1\)
\(\log_2(32x) - (\log_2(2) + \log_2(0,25)) - 1\)
\(\log_2(32x) - (\log_2(2 \cdot 0,25)) - 1\)
\(\log_2(32x) - \log_2(0,5) - 1\)

5. Теперь подставим полученное упрощенное выражение обратно в наше неравенство:

\(\log_2(x) \leq \log_2(32x) - \log_2(0,5) - 1\)

Таким образом, мы получили новое неравенство с тем же значением и объемом.

Обратите внимание, что упрощение и преобразование выражений в данной задаче основано на свойствах логарифмов. Каждый шаг преобразования логично следует из предыдущего, и мы получаем новое неравенство, которое эквивалентно исходному.