Как можно доказать возрастание функции f (x) = 4x - 3sinx на всей числовой прямой?

Zvezdopad_Shaman

37

Чтобы доказать возрастание функции \(f(x) = 4x - 3\sin(x)\) на всей числовой прямой, нужно провести анализ производной этой функции.

Для начала, найдем производную \(f"(x)\). Для этого применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:
\[
\begin{align*}
f"(x) &= \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(3\sin(x)) \\
&= 4 - 3\cos(x).
\end{align*}
\]

Теперь мы знаем, что производная функции \(f(x)\) равна \(f"(x) = 4 - 3\cos(x)\).

Для доказательства возрастания функции \(f(x)\) на всей числовой прямой, нужно убедиться, что \(f"(x) > 0\) для всех значений \(x\).

Определим, при каких значениях \(x\) производная \(f"(x)\) будет равна нулю. Решим уравнение \(4 - 3\cos(x) = 0\):
\[
\begin{align*}
3\cos(x) &= 4 \\
\cos(x) &= \frac{4}{3}.
\end{align*}
\]

Так как косинус угла может принимать значения только от -1 до 1, уравнение имеет решение только при \(-\frac{4}{3} \leq \frac{4}{3}\). А так как косинус является убывающей функцией в первой и второй четвертях, уравнение будет иметь решение только в первой и во второй четвертях.

Теперь найдем значения производной \(f"(x)\) в интервалах между корнями уравнения \(\cos(x) = \frac{4}{3}\) и вне этих интервалов.

В первой четверти углы имеют значение от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\), поэтому мы можем взять любую точку \(x_1\), лежащую в интервале \(0 < x_1 < \frac{\pi}{2}\). Раз уж косинус в этом интервале положителен, то \(f"(x_1) = 4 - 3\cos(x_1) > 4 - 3\cdot\frac{4}{3} = 0\). То есть \(f"(x)\) положительна в интервале \(0 < x < \frac{\pi}{2}\).

Аналогично, во второй четверти углы имеют значение от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\), поэтому мы можем взять любую точку \(x_2\), лежащую в интервале \(\frac{\pi}{2} < x_2 < \pi\). В этом интервале косинус отрицателен, поэтому \(f"(x_2) = 4 - 3\cos(x_2) > 4 - 3\cdot(-1) = 7\). То есть \(f"(x)\) положительна в интервале \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\).

Таким образом, мы показали, что производная \(f"(x)\) положительна в интервалах \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\). Кроме того, мы знаем, что производная существует и непрерывна на всей числовой прямой.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что функция \(f(x) = 4x - 3\sin(x)\) возрастает на всей числовой прямой.