Как найти производную функции f(x)=x^2-6x+4, используя определение?

Dobryy_Lis

69

Конечно! Для нахождения производной функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) с использованием определения, мы должны воспользоваться формулой производной:

\[
f"(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}}
\]

где \(h\) - это очень маленькое изменение в значении \(x\). Давайте применим эту формулу к нашей функции.

Сначала вычислим значение \(f(x + h)\):
\(f(x + h) = (x + h)^2 - 6(x + h) + 4\).

Раскроем скобки:
\(f(x + h) = x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4\).

Теперь найдём разность \(f(x + h) - f(x)\):
\(f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4) - (x^2 - 6x + 4)\).

Сократим одинаковые слагаемые и приведём подобные:
\(f(x + h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4 - x^2 + 6x - 4\).

Многие слагаемые сократятся:
\(f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 6h\).

Теперь разделим на \(h\):
\(\frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}} = \frac{{2xh + h^2 - 6h}}{{h}}\).

Сократим на \(h\):
\(\frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}} = 2x + h - 6\).

Теперь мы можем найти производную функции \(f(x)\), подставив \(h = 0\):
\(f"(x) = \lim_{{h \to 0}} (2x + h - 6)\).

Когда \(h\) стремится к нулю, слагаемое \(h\) также стремится к нулю, поэтому мы можем удалить его из выражения:
\(f"(x) = 2x - 6\).

Итак, производная функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) равна \(f"(x) = 2x - 6\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти производную функции с использованием определения. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!