Как преобразовать выражение 4(степень) корень из 32х^4у^5 так, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня

Vechnaya_Mechta

62

Чтобы преобразовать выражение \(4\sqrt{32x^4y^5}\) таким образом, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня, мы должны использовать свойства корней.

Давайте начнем с упрощения подкоренного выражения. Заметим, что \(32\) можно разложить на множители: \(32 = 2^5\). Также, внутри подкоренного выражения у нас есть \(x^4y^5\).

Подставим эти значения в наше исходное выражение: \(4\sqrt{32x^4y^5} = 4\sqrt{2^5x^4y^5}\).

Если мы вынесем \(2\) из-под знака корня, то у нас останется \(\sqrt{2x^4y^5}\). Остается только проверить, является ли это новое выражение равным исходному.

Теперь давайте проверим:

\[
\begin{align*}
4\sqrt{2^5x^4y^5} &= 4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} \cdot x^2 \cdot y^{\frac{5}{2}} \\
&= 4 \cdot 2^{\frac{4}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot x^2 \cdot y^{\frac{5}{2}} \\
&= 4 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} \cdot x^2 \cdot y^{\frac{5}{2}} \\
&= 16 \sqrt{2} \cdot x^2 \cdot y^{\frac{5}{2}}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы можем преобразовать исходное выражение \(4\sqrt{32x^4y^5}\) в форму \(16 \sqrt{2} \cdot x^2 \cdot y^{\frac{5}{2}}\), выведя множитель \(4\) из-под знака корня.