Какая функция является обратной функцией для уравнения Y=x^2-3 при x ≥ 0? Изобразите график данной функции

Artemovich_9957

14

Чтобы найти обратную функцию для уравнения \(Y = x^2 - 3\) при \(x \geq 0\), мы сначала заменим \(Y\) на \(x\) и найдем новое уравнение. Затем мы решим это уравнение для \(x\) как функцию от \(Y\). Давайте начнем.

Шаг 1: Замена переменных
Заменим \(Y\) на \(x\), а \(x\) на \(Y\) в оригинальном уравнении, чтобы получить:
\(x = Y^2 - 3\)

Шаг 2: Решение уравнения
Теперь нам нужно решить это уравнение для \(Y\) как функцию от \(x\). Для этого добавим 3 к обоим сторонам уравнения и возьмем квадратные корни:
\(x + 3 = Y^2\) (теперь можно сказать, что \(Y \geq 0\), так как \(x \geq 0\))
\[Y = \sqrt{x + 3}\]

Шаг 3: Построение графика
Чтобы изобразить график данной функции, мы должны знать ее свойства. Обратная функция для \(Y = x^2 - 3\) при \(x \geq 0\) будет представлять собой верхнюю половину параболы \(Y = x^2 - 3\) (так как мы ограничиваемся только положительными значениями \(x\) и \(Y\)).

Ниже приведен график обратной функции \(Y = \sqrt{x + 3}\):

\[
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(Y\)},
xmin=0, xmax=10,
ymin=0, ymax=5,
xtick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
ytick={0,1,2,3,4,5},
ymajorgrids=true,
xmajorgrids=true,
grid style=dashed,
axis lines=middle,
width=10cm,
height=8cm,
]
\addplot[
domain=0:10,
samples=500,
color=blue,
]{sqrt(x+3)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\]

На графике видно, что обратная функция \(Y = \sqrt{x + 3}\) при \(x \geq 0\) является верхней половиной параболы, смещенной вниз на 3 единицы по оси \(Y\).

Надеюсь, это решение и график помогут вам понять данную задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!