Какие корни имеет система уравнений: 2x^2 + y = 23 и 10x^2 - y

Ледяной_Подрывник

15

Для начала обратим внимание на систему уравнений:

\[
\begin{align*}
2x^2 + y &= 23 \quad \text{(1)} \\
10x^2 - y &= 0 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Мы хотим найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Давайте решим эту систему уравнений методом сложения/вычитания.

\textbf{Шаг 1:} Умножим уравнение (1) на 5, чтобы избавиться от \(y\) в уравнении (2):

\[
\begin{align*}
10x^2 + 5y &= 115 \quad \text{(3)} \\
10x^2 - y &= 0 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 2:} Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3), чтобы устранить \(10x^2\):

\[
\begin{align*}
(10x^2 + 5y) - (10x^2 - y) &= 115 - 0 \\
6y &= 115 \\
y &= \frac{115}{6}
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 3:} Подставим найденное значение \(y\) обратно в уравнение (2) или (1) для нахождения \(x\). Давайте выберем уравнение (1):

\[
\begin{align*}
2x^2 + \frac{115}{6} &= 23 \\
2x^2 &= 23 - \frac{115}{6}
\end{align*}
\]

\textbf{Шаг 4:} Упростим уравнение:

\[
\begin{align*}
2x^2 &= \frac{138}{6} \\
2x^2 &= \frac{69}{3} \\
x^2 &= \frac{69}{6} \\
x &= \pm \sqrt{\frac{69}{6}}
\end{align*}
\]

Таким образом, система уравнений имеет два корня:

\[
x_1 = -\sqrt{\frac{69}{6}}, \quad y_1 = \frac{115}{6} \quad \text{и} \quad x_2 = \sqrt{\frac{69}{6}}, \quad y_2 = \frac{115}{6}.
\]

Это и есть ответ на задачу. Подставляя эти значения \(x\) и \(y\) обратно в каждое уравнение из системы, вы увидите, что они удовлетворяют обоим уравнениям.