Какие скорости поезда на первом и втором участках пути, если первая треть пути прошла со скоростью в два раза большей

Ogon

24

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для средней скорости. Средняя скорость выражается как отношение общего пройденного пути к общему времени пути.

Давайте представим, что весь путь, который поезд проходит, равен 3d (где d - это единица дистанции). По условию задачи, первая треть пути проходится со скоростью, в два раза большей, чем вторая треть пути. Значит, скорость в первой трети пути будет равна 2x, а во второй трети пути - x.

Теперь, выразим общий пройденный путь через скорость и время:

Для первой трети пути: \(d_1 = 2x \cdot t_1\), где \(t_1\) - время, затраченное на первую треть пути.

Для второй трети пути: \(d_2 = x \cdot t_2\), где \(t_2\) - время, затраченное на вторую треть пути.

Также, у нас есть информация о средней скорости. Средняя скорость равна отношению общего пройденного пути к общему времени пути:

\(\frac{3d}{t_1 + t_2} = 60\).

Теперь мы можем составить систему уравнений для решения задачи:

\(\begin{cases} d_1 = 2x \cdot t_1 \\ d_2 = x \cdot t_2 \\ \frac{3d}{t_1 + t_2} = 60 \end{cases}\)

Первое уравнение относится к первой трети пути, второе уравнение - ко второй трети пути, третье уравнение - к общей средней скорости.

Теперь решим систему уравнений, используя метод подстановки или другие методы решения системы уравнений. Для удобства, я предпочитаю воспользоваться методом подстановки.

Заменим значение \(d_1\) в третьем уравнении:

\(\frac{3(2x \cdot t_1 + x \cdot t_2)}{t_1 + t_2} = 60\).

Раскроем скобки:

\(\frac{6x \cdot t_1 + 3x \cdot t_2}{t_1 + t_2} = 60\).

Упростим уравнение:

\(6x \cdot t_1 + 3x \cdot t_2 = 60 \cdot (t_1 + t_2)\).

А теперь выразим \(t_1\) через \(t_2\):

\(6xt_1 = 60t_1 + 60t_2 - 3xt_2\),

\(3xt_1 - 60t_1 = 60t_2 - 3xt_2\),

\(t_1(3x - 60) = (60 - 3x)t_2\).

Теперь, мы можем выразить \(t_1\) через \(t_2\):

\(t_1 = \frac{(60 - 3x)t_2}{3x - 60}\).

Подставим это значение во второе уравнение:

\(d_2 = x \cdot t_2\),

\(d_2 = x \cdot \frac{(60 - 3x)t_2}{3x - 60}\).

Раскроем скобки:

\(d_2 = \frac{x(60 - 3x)t_2}{3x - 60}\).

Теперь, заменим \(d_2\) в первом уравнении:

\(d_1 = 2x \cdot t_1\),

\(d_1 = 2x \cdot \frac{(60 - 3x)t_2}{3x - 60}\).

Раскроем скобки:

\(d_1 = \frac{2x(60 - 3x)t_2}{3x - 60}\).

Из всего этого, мы можем сделать вывод, что скорость на первом участке пути \(v_1 = \frac{d_1}{t_1}\) равна:

\(v_1 = \frac{\frac{2x(60 - 3x)t_2}{3x - 60}}{\frac{(60 - 3x)t_2}{3x - 60}} = \frac{2x(60 - 3x)}{60 - 3x}\).

То есть, скорость на первом участке пути равна \(2x\) км/ч.

Аналогично, скорость на втором участке пути \(v_2 = \frac{d_2}{t_2}\) равна:

\(v_2 = \frac{\frac{x(60 - 3x)t_2}{3x - 60}}{t_2} = \frac{x(60 - 3x)}{t_2}\).

То есть, скорость на втором участке пути равна \(x\) км/ч.

Теперь, чтобы найти конкретные значения \(v_1\) и \(v_2\), нам нужно представить, что значение \(x\) изначально известно.

Давайте рассмотрим варианты ответов в задаче.

1) 40 км/ч; 80 км/ч
Подставим первые значения: \(v_1 = 2 \cdot 40 = 80\) км/ч и \(v_2 = 40\) км/ч.
Проверим, равна ли средняя скорость 60 км/ч: \(\frac{3 \cdot (80 + 40)}{40 + 80} = 60\) км/ч.
Ответ верный.

2) 80 км/ч; 40 км/ч
Подставим первые значения: \(v_1 = 2 \cdot 80 = 160\) км/ч и \(v_2 = 40\) км/ч.
Проверим, равна ли средняя скорость 60 км/ч: \(\frac{3 \cdot (160 + 40)}{80 + 40} = 180\) км/ч.
Ответ неверный.

3) 50 км/ч; 100 км/ч
Подставим первые значения: \(v_1 = 2 \cdot 50 = 100\) км/ч и \(v_2 = 100\) км/ч.
Проверим, равна ли средняя скорость 60 км/ч: \(\frac{3 \cdot (100 + 100)}{50 + 100} = 100\) км/ч.
Ответ верный.

4) 100 км/ч; 50 км/ч
Подставим первые значения: \(v_1 = 2 \cdot 100 = 200\) км/ч и \(v_2 = 50\) км/ч.
Проверим, равна ли средняя скорость 60 км/ч: \(\frac{3 \cdot (200 + 50)}{100 + 50} = 100\) км/ч.
Ответ верный.

5) 60 км/ч; 30 км/ч
Подставим первые значения: \(v_1 = 2 \cdot 60 = 120\) км/ч и \(v_2 = 30\) км/ч.
Проверим, равна ли средняя скорость 60 км/ч: \(\frac{3 \cdot (120 + 30)}{60 + 30} = 90\) км/ч.
Ответ неверный.

Итак, корректные ответы на задачу — 1) 40 км/ч; 80 км/ч и 3) 50 км/ч; 100 км/ч.