Какие свойства функции f(x) = -х² - 4х можно выявить при построении ее графика? (14.13—14.17

Fedor

6

При построении графика функции \(f(x) = -x^2 - 4x\) можно выявить несколько важных свойств. Для начала, важно отметить, что данная функция является квадратичной функцией, так как наибольшая степень в уравнении - вторая степень.

Перейдем к построению графика шаг за шагом:

1. Шаг: Найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого приравняем \(f(x)\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[-x^2 - 4x = 0\]

Факторизуем уравнение:

\[-x(x + 4) = 0\]

Таким образом, имеем два корня: \(x = 0\) и \(x = -4\).

Значит, функция пересекает ось абсцисс в точках (0, 0) и (-4, 0).

2. Шаг: Определим вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой x-координаты вершины:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В нашем случае \(a = -1\) и \(b = -4\). Подставим значения:

\[x = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = 2\]

Таким образом, x-координата вершины равна 2.

3. Шаг: Чтобы найти y-координату вершины, подставим найденное значение \(x\) в исходную функцию:

\[f(2) = -2^2 - 4(2) = -4 - 8 = -12\]

Таким образом, y-координата вершины равна -12.

4. Шаг: Построим полученные точки - точки пересечения с осями и вершину параболы на графике координатной плоскости.

5. Шаг: Наконец, проанализируем поведение функции при увеличении или уменьшении значения \(x\).

Так как коэффициент \(a\) перед \(x^2\) отрицательный, функция \(f(x)\) будет направлена вниз (открывается вниз).

Также, вершина параболы является максимальной точкой функции. Значит, график будет иметь форму параболы, направленной вниз, и приближаться к оси ординат.

Итак, свойства функции \(f(x) = -x^2 - 4x\), которые мы выявили при построении ее графика, включают:

- Функция пересекает ось абсцисс в точках (0, 0) и (-4, 0).
- Вершина параболы находится в точке (2, -12).
- График функции представляет собой параболу, направленную вниз, и приближается к оси ординат.