Какие значения a и b, если точка (2;3) является вершиной параболы y=ax^2+bx+6?

Ivanovna

54

Чтобы определить значения \( a \) и \( b \), при которых точка \((2,3)\) является вершиной параболы \( y = ax^2 + bx + 6 \), нужно использовать информацию о вершине параболы.

В данном случае, координаты вершины параболы будут \( (h, k) \), где \( h \) - это координата \( x \) вершины, а \( k \) - это координата \( y \) вершины. В нашем случае \( (2,3) \) - координаты вершины, значит \( h = 2 \) и \( k = 3 \).

Используя эти значения, мы можем составить систему уравнений и решить ее, чтобы найти значения \( a \) и \( b \).

Первое уравнение получается из того факта, что парабола проходит через вершину:

\[ k = ah^2 + bh + 6 \]

Подставляем известные значения \( h = 2 \) и \( k = 3 \):

\[ 3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 6 \]

\[ 3 = 4a + 2b + 6 \]

\[ -3 = 4a + 2b \]

Второе уравнение получается из того факта, что вершина параболы находится на оси симметрии, которая проходит через середину между двумя корнями параболы. Так как вершина находится в точке \((2,3)\), то ось симметрии будет проходить через \(x = 2\). Таким образом, корни параболы будут равны \(x = h \pm d\), где \(d\) - это расстояние от вершины до каждого из корней. Тогда:

\[ x = 2 \pm d \]

\[ x - 2 = \pm d \]

\[ |x - 2| = d \]

Так как дискриминант в параболе \( ax^2 + bx + 6 \) равен \( D = b^2 - 4ac \), и у нас есть два различных корня, то дискриминант должен быть больше нуля.

\[ D > 0 \]

\[ b^2 - 4ac > 0 \]

\[ b^2 > 4ac \]

Подставляем известные значения \( a \) и \( c = 6 \):

\[ b^2 > 4 \cdot a \cdot 6 \]

\[ b^2 > 24a \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1) \[ -3 = 4a + 2b \]
2) \[ b^2 > 24a \]

Из уравнения (1) можно найти \( b \):

\[ b = \frac{-3 - 4a}{2} \]

Подставляем это значение \( b \) в уравнение (2):

\[ \left(\frac{-3 - 4a}{2}\right)^2 > 24a \]

Упрощаем:

\[ \frac{(-3 - 4a)^2}{4} > 24a \]

\[ (-3 - 4a)^2 > 96a \]

\[ 9 + 24a + 16a^2 > 96a \]

\[ 16a^2 - 72a + 9 > 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Очень важно применять точные формулы квадратного уравнения:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае, у нас есть:

\[ a = 16, b = -72, c = 9 \]

\[ a = \frac{72 \pm \sqrt{(-72)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16} \]

\[ a = \frac{72 \pm \sqrt{5184 - 576}}{32} \]

\[ a = \frac{72 \pm \sqrt{4608}}{32} \]

\[ a = \frac{72 \pm 48}{32} \]

Теперь найдем значения \( a \):

1) \[ a = \frac{72 + 48}{32} = \frac{120}{32} = \frac{15}{4} \]

2) \[ a = \frac{72 - 48}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, значения \( a \) могут быть равными либо \(\frac{15}{4}\), либо \(\frac{3}{4}\). Чтобы определить значение \( b \), нужно подставить каждое значение \( a \) в уравнение (1):

1) При \( a = \frac{15}{4} \):
\[ -3 = 4 \cdot \frac{15}{4} + 2b \]

Упрощаем:
\[ -3 = 15 + 2b \]
\[ -18 = 2b \]
\[ b = -9 \]

2) При \( a = \frac{3}{4} \):
\[ -3 = 4 \cdot \frac{3}{4} + 2b \]

Упрощаем:
\[ -3 = 3 + 2b \]
\[ -6 = 2b \]
\[ b = -3 \]

Таким образом, возможные значения \( a \) и \( b \), при которых точка \((2,3)\) является вершиной параболы \(y = ax^2 + bx + 6\), равны \( a = \frac{15}{4}\) и \( b = -9 \), или \( a = \frac{3}{4} \) и \( b = -3 \).