Какие значения x должны быть, чтобы трехчлен 6x^2 + 90 x - 204 принимал положительные значения?

Vitaliy

56

Чтобы найти значения \(x\), при которых трехчлен \(6x^2 + 90x - 204\) принимает положительные значения, мы должны решить неравенство \(6x^2 + 90x - 204 > 0\).

Давайте найдем корни уравнения \(6x^2 + 90x - 204 = 0\). Мы можем использовать метод факторизации, полное квадратное уравнение или формулу дискриминанта для этого. Но, чтобы ответить на ваш вопрос более характерно для школьного уровня, я воспользуюсь формулой дискриминанта.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты трехчлена \(ax^2 + bx + c\).

В нашем случае:
\(a = 6\),
\(b = 90\),
\(c = -204\).

Вычислим дискриминант:
\[D = 90^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-204) = 8100 + 4896 = 12996\]

Так как \(D > 0\), уравнение \(6x^2 + 90x - 204 = 0\) имеет два различных корня.
Продолжим решение неравенства \(6x^2 + 90x - 204 > 0\), используя значения корней.

Сначала найдем значения \(x\), при которых трехчлен равен нулю:
\[6x^2 + 90x - 204 = 0\]

Теперь воспользуемся найденными корнями и разобьем интервал числовой прямой на три отрезка. Выберем по одной точке из каждого отрезка и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знаки между интервалами.

Выберем значения, между корнями -1 и 6. Допустим, \(x = 0\):
\[6 \cdot (0)^2 + 90 \cdot (0) - 204 = -204\]

Мы видим, что на этом интервале значений \(x\) трехчлен принимает отрицательные значения.

Выберем значения меньше корня -1. Допустим, \(x = -2\):
\[6 \cdot (-2)^2 + 90 \cdot (-2) - 204 = 120\]

Мы видим, что на этом интервале значений \(x\) трехчлен принимает положительные значения.

Выберем значения больше корня 6. Допустим, \(x = 7\):
\[6 \cdot (7)^2 + 90 \cdot (7) - 204 = 630\]

Мы видим, что и на этом интервале значений \(x\) трехчлен принимает положительные значения.

Таким образом, чтобы трехчлен \(6x^2 + 90x - 204\) принимал положительные значения, значения \(x\) должны быть меньше корня -1 или больше корня 6.